Diagramma di Bode
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Un diagramma di Bode è una rappresentazione grafica di una funzione di trasferimento, ovvero della risposta in frequenza di un sistema per un ingresso di valore unitario, e consta di un diagramma di ampiezza (o modulo) e un diagramma di fase.
Il nome di questo tipo di rappresentazione e dovuta allo scienziato Hendrik Wade Bode, pioniere nello studio della teoria dei controlli e delle telecomunicazioni elettroniche.
Contrariamente alla rappresentazione polare, o di Nyquist, la rappresentazione di modulo e fase della funzione di trasferimento, non avviene su di un solo piano cartesiano, ma in due distiniti che hanno entrambi in ascissa, come variabile indipendente, la frequenza o la pulsazione.
Il diagramma di Bode, trova applicazione ad esempio, nella teoria dei controlli, nella teoria dei sistemi, nella progettazione di filtri e amplificatori.
[modifica] Diagramma di ampiezza (o modulo)
Come accennato, il diagramma di ampiezza, è un grafico che ha in ascissa la frequenza e in ordinata il corrispondente valore di modulo, solitamente espresso in scala logaritmica. L'utilità di questo tipo di rappresentazione è data dalla possibilità di dedurre il modulo di una serie di sistemi disposti in cascata (uno di seguito all'altro) semplicemente come somma dei moduli dei singoli sistemi.
- (Questo grazie al fatto che sistemi in cascata hanno una risposta in frequenza che è il prodotto delle singole risposte, e che il logaritmo di un prodotto è eguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori, cioè
)
[modifica] Diagramma di fase
Il diagramma di fase è un grafico che ha in ordinata i valori di fase e in ascissa la frequenza, spesso usato in abbinamento col diagramma del modulo per valutare lo spostamento in fase di una frequenza.
Per esempio un segnale descritto da: Asin(ωt) può essere attenuato, ma anche spostato in fase. Se il sistema attenua il segnale di ingresso di un fattore x e lo sposta in fase di −Φ il segnale di uscita del sistema sarà (A/x) sin(ωt − Φ). Lo spostamento in fase Φ è in genere funzione della frequenza.
I due diagrammi possono raramente essere modificati l'uno dall'altro indipendentemente - se si modifica la risposta in modulo molto probabilmente verrà modificata la risposta in fase e viceversa. Per sistemi a fase minima è possibile per risalire al diagramma della risposta della fase dal diagramma della risposta del modulo tramite la Trasformata di Hilbert.
Se la funzione di trasferimento è una funzione razionale, allora il diagramma di Bode può essere ottenuto abbastanza semplicemente ed essere approssimato con una linea spezzata. Questa approssimazione asintotica è molto utile perché può essere disegnata a mano seguendo poche semplici regole. Diagrammi semplici possono essere previsti senza disegnarli.
[modifica] Esempio
Un filtro RC passabasso, per esempio, ha la seguente risposta in frequenza:
La frequenza di taglio indicata dal punto fc (in hertz) ha valore pari a
.
L'approssimazione asintotica del diagramma di Bode consiste di due linee:
- per frequenze minori di fc è una linea orizzontale a 0 dB,
- per frequenze fc è una linea con una pendenza di −20 dB per decade.
Queste due linee si incontrano alla frequenza di taglio. Dal diagramma si vede che per frequenze molto al disotto della frequenza di taglio il circuito ha un'attenuazione di 0dB, cioè il filtro non modifica il modulo del segnale. Frequenze al disopra della frequenza di taglio sono attenuate in misura maggiore tanto più si sale in frequenza.
