Costante gravitazionale planetaria

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Corpo	$μ$
-	[km³s^-2]
Sole	132.712.440.000
Mercurio	22.032
Venere	324.859
Terra	398.600
Marte	42.828
Giove	126.686.534
Saturno	37.931.187
Urano	5.793.947
Nettuno	6.836.529
Plutone	1.001

In astrodinamica, la costante gravitazionale planetaria ( $\mu\!\,$ ) di un corpo celeste è il prodotto della costante gravitazionale ( $G\!\,$ ) e la massa $M\!\,$ :

$\mu=G*M\!\,$

L'unità di misura è espressa in km³s^-2

Indice

1 Corpo trascurabile che orbita attorno ad un'altro corpo
2 Due corpi che ruotano attorno lo stesso oggetto
3 Terminologia e precisione

[modifica] Corpo trascurabile che orbita attorno ad un'altro corpo

Sotto le ipotesi standard in astrodinamica si ottiene che:

$m_1 << m_2\!\,$

dove:

$m_1\!\,$ è la massa del corpo orbitante,
$m_2\!\,$ è la massa del corpo centrale,

e la costante gravitazionale planetaria è quella del corpo centrale.

[modifica] Orbite circolari

Nelle orbite circolari attorno ad un corpo centrale vale:

$\mu = rv^2 = r^3\omega^2 = 4\pi^2r^3/T^2\!\,$

dove:

$r\!\,$ è il raggio dell'orbita,
$v\!\,$ è la velocità orbitale,
$\omega\!\,$ è la velocità angolare,
$T\!\,$ è il periodo orbitale.

[modifica] Orbite ellittiche

L'ultima uguaglianza ha una semplice generalizzazione per le orbite ellittiche:

$\mu=4\pi^2a^3/T^2\!\,$

dove:

$a\!\,$ è il semiasse maggiore.

[modifica] Traiettorie paraboliche e iperboliche

Per le traiettorie paraboliche rv² è costante e vale 2μ.

Nelle orbite ellittiche e iperboliche μ vale due volte il semiasse maggiore moltiplicato per il valore assoluto dell'energia orbitale specifica.

[modifica] Due corpi che ruotano attorno lo stesso oggetto

Nel caso più generale dove i corpi sono dello stesso ordine di grandezza, si definisce:

il vettore r come posizione di un corpo rispetto all'altro
r, v e nel caso di un'orbita ellittica, il semiasse maggiore a, sono definiti di conseguenza (quindi r rappresenta la distanza)
$\mu={G}(m_1+m_2)\!\,$ (la somma delle due μ)

dove:

$m_1\!\,$ and $m_2\!\,$ sono le masse dei due corpi.

Quindi:

per le orbite circolari: $rv^2 = r^3 \omega^2 = 4 \pi^2 r^3/T^2 = \mu\!\,$
per le orbite ellittiche: $4 \pi^2 a^3/T^2 = \mu\!\,$
per le traiettorie paraboliche $r v^2\!\,$ is constant and equal to $2 \mu\!\,$
per le orbite ellittiche e iperboliche $μ$ vale due volte il semiasse maggiore moltiplicato per il valore assoluto dell'energia orbitale specifica, dove quest'ultima è l'energia totale del sistema divisa la massa residua.

[modifica] Terminologia e precisione

La costante gravitazionale planetaria terrestre è chiamata constante gravitazionale geocentrica e vale 398,600.441,8 ± 0.000,8 km³s^-2. Quindi il margine di precisione è 1 su 500.000.000, molto minore di quello che si ha nel calcolo dellaG e della M prese separatamente (che vale 1 su 7.000 ciascuna).

La costante gravitazionale planetaria del Sole è chiamata constante gravitazionale eliocentrica.

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Categoria: Meccanica celeste