Óendanleiki

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Óendanleiki er hugtak sem kemur fyrir á ýmsum stöðum, svo sem í heimspeki, stærðfræði og trúarbrögðum.

Efnisyfirlit

1 Óendanleiki í stærðfræði
- 1.1 Óendanlegt sem hluti af útvíkkuðu talnalínunni
2 Heimildir

[breyta] Óendanleiki í stærðfræði

Óendanlegt er það ástand að vera stærra en hvaða endanlega stærð (rauntala eða tvinntala) sem er.

[breyta] Óendanlegt sem hluti af útvíkkuðu talnalínunni

Óendanleiki er ekki tala en útvíkkaða talnalínan bætir við tveimur stökum, óendanlegt ( $\infty$ ) sem er stærra en allar aðrar (útvíkkaðar) rauntölur, og mínus óendanlegt ( $-\infty$ ) sem er minna en allar aðrar (útvíkkaðar) rauntölur, ásamt reikniaðgerðum með þessi nýju stök.

[breyta] Óendanlegt við sjálft sig

$\infty + \infty = \infty \,$

$\infty \cdot \infty = \infty \,$

$-\infty \cdot (-\infty) = \infty \,$

$-\infty + (-\infty) = -\infty \,$

$\infty \cdot (-\infty) = -\infty \,$

[breyta] Reikningur með óendanlegt og rauntölur

$-\infty < x < \infty \,$

$x + \infty = \infty \,$

$x + (-\infty) = -\infty \,$

$x - \infty = -\infty \,$

$x - (-\infty) = \infty \,$

${x \over \infty} = 0 \,$

${x \over -\infty} = 0 \,$

Ef $x>0 \,$ þá er

$x \cdot \infty = \infty$

$x \cdot (-\infty) = -\infty \,$

Ef $x<0 \,$ þá er

$x \cdot \infty = -\infty$

$x \cdot (-\infty) = \infty \,$

[breyta] Óskilgreindar aðgerðir

$0 \cdot \infty \,$

$0 \cdot (-\infty) \,$

$\infty + (-\infty) \,$

$\infty - \infty \,$

${\pm\infty \over \pm\infty} \,$

${(\pm\infty)}^0 \,$

$1^{\pm\infty} \,$

Athuga ber að $\left[{x \over \infty} = 0\right]$ jafngildir ekki $\left[0 \cdot \infty = x\right]$ . Ef það seinna væri satt, þyrfti það að vera satt fyrir öll x, og samkvæmt gegnvirkni jafngildir venslanna væru allar tölur jafnar. Það er þetta sem átt er við með því að $0 \cdot \infty$ er óskilgreint, eða óákvarðanlegt. Í ákveðnum tilvikum, td. í málfræði, er $0 \cdot \infty =0\,$ .