Walrasi egyenletek

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Léon Walras az 1874-ben megjelent Élements d'économie politique pure; ou théorie de la richesse sociale (A tiszta politikai gazdaságtan elemei, avagy a társadalmi gazdagság elmélete) című művében egy – négy csoportba sorolt – egyenletekből álló egyenletrendszert vázolt fel, amiket walrasi egyenleteknek hívunk. Az egyenletekkel, amelyek a gazdaságban jelen lévő javak árát és mennyiségét határozzák meg „a tökéletesen szabad verseny hipotetikus feltételei között”, Walras megteremtette az általános egyensúlyelmélet alapjait.

Tartalomjegyzék

1 A fogyasztásicikk-keresleti és a tényezőkínálati egyenletek
2 A tényezőpiaci egyenletek
3 Az ár-költség egyenletek
4 A technikai koefficiensek problémája
5 Az egyenletek megoldhatósága
6 Lásd még
7 Irodalom

[szerkesztés] A fogyasztásicikk-keresleti és a tényezőkínálati egyenletek

Walras modelljében a háztartásoknak kettős gazdasági szerepük van: egyrészt a fogyasztási cikkek potenciális vevőiként, másrészt a termelési tényezők (munkaerő, tőke, stb.) eladóiként jelennek meg a piacon.

Walras elsőként egyetlen háztartást vizsgált. Feltételezte, hogy a rendelkezésre álló (eladható) tényezőmennyiségek rögzítettek, ezeket jelölje q_t, q_p, q_k, és így tovább. A vásárolt fogyasztási javak mennyiségei legyenek d_a, d_b, d_c, stb., az eladott tényezőmennyiségek pedig o_t, o_p, o_k, és így tovább. Legyen az a jószág az ármérce (numéraire), vagyis mérjük a többi jószág árát a egységében. Ekkor értelemszerűen $p_a = 1\,$ . (Ezzel Walras kiiktatta a pénzt az egyenletekből.) Minden jószágnak létezik hasznossága (mai szóval határhaszna, amit Walras $\Phi\,$ -vel jelöl), ami a háztartás számára végül rendelkezésre álló mennyiség monoton csökkenő függvénye (más javak fogyasztásától azonban nem függ). Ha a háztartás optimálisan osztja meg a jövedelmét a különböző javak között, teljesülnek a következő egyenletek:

$\begin{matrix} \Phi(d_a) = p_a \cdot \Phi(d_a) \\ \Phi(d_b) = p_b \cdot \Phi(d_a) \\ \Phi(d_c) = p_c \cdot \Phi(d_a) \\ ... \end{matrix}$

Az első egyenlet $p_a = 1\,$ miatt valójában azonosság, elhagyható. Ha a fogyasztási cikkek száma m, akkor m − 1 egyenletünk van. De hasonlóak a termelési tényezőkre is felírhatók:

$\begin{matrix} \Phi(q_t-o_t) = p_t \cdot \Phi(d_a) \\ \Phi(q_p-o_p) = p_p \cdot \Phi(d_a) \\ \Phi(q_k-o_k) = p_k \cdot \Phi(d_a) \\ ... \end{matrix}$

Ha a tényezők száma n, akkor ez ugyanennyi egyenletet jelent.

A fentebb leírt egyenletekben közös a $\Phi(d_a)\,$ tag, ezért akár ilyen alakra is hozhatók:

$\frac{\Phi(d_b)}{p_b} = \frac{\Phi(d_c)}{p_c} = ... = \frac{\Phi(q_t-o_t)}{p_t} = \frac{\Phi(q_p-o_p)}{p_p} = \frac{\Phi(q_k-o_k)}{p_k} = ... = \Phi(d_a)$ ,

amivel lényegében Gossen II. törvényét írtuk fel.

Még egy egyenlet létezik, ami annak a feltevésnek felel meg, hogy a háztartás összes (tényezőeladásból származó) jövedelmének egyenlőnek kell lennie az összes (fogyasztásicikk-vásárlásra fordított) kiadásával. Eszerint:

$p_t \cdot o_t + p_p \cdot o_p + p_k \cdot o_k + ... = d_a + p_b \cdot d_b + p_c \cdot d_c + ...\,$

A tökéletes verseny feltételezéséből az is következik, hogy minden egyes háztartás árelfogadó, vagyis nem képes (vagy úgy véli, hogy nem képes) befolyásolni a piacon kialakult árakat. Ezért az árak most – a kiinduló tényezőmennyiségekhez hasonlóan – paraméterként jelennek meg, csak a keresett, illetve kínált mennyiségek ismeretlenek. m + n darab egyenletünk van, és ugyanennyi ismeretlen. Walras feltételezte, hogy ez elegendő az egyenletrendszer megoldhatóságához és a megoldás egyértelműségéhez, így a háztartás meg tudja határozni az általa vásárolni, illetve eladni kívánt jószágmennyiségeket. Írjuk fel ezeket az árak függvényében:

$\begin{matrix} d_a = f_a(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...) \\ d_b = f_b(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...) \\ d_c = f_c(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...) \\ ... \\ o_t = f_t(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...) \\ o_p = f_p(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...) \\ o_k = f_k(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...) \\ ... \end{matrix}$

Látható, hogy bármely jószág keresletét, illetve kínálatát minden más jószág ára befolyásolja.

Walras ezt követően áttért a háztartások összességének vizsgálatára. Az egyes fogyasztási cikkek kereslete és a tényezők kínálata a háztartások keresleteinek, illetve kínálatainak összege, így maga is az árak függvénye:

$\begin{matrix} D_a = \sum d_a = F_a(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...) \\ D_b = \sum d_b = F_b(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...) \\ D_c = \sum d_c = F_c(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...) \\ ... \\ O_t = \sum o_t = F_t(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...) \\ O_p = \sum o_p = F_p(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...) \\ O_k = \sum o_k = F_k(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...) \\ ... \end{matrix}$

Mivel minden egyes háztartás kínálatának értéke egyenlő volt a keresletével, ezért az aggregált kínálat is azonos lesz az aggregált kereslettel. Ez az összefüggés Walras törvényeként is ismert.

[szerkesztés] A tényezőpiaci egyenletek

Az általános egyensúly elengedhetetlen feltétele, hogy minden termelési tényező összpiaci kereslete egyenlő legyen a kínálatával:

$\begin{matrix} D_t = O_t \\ D_p = O_p \\ D_k = O_k \\ ... \end{matrix}$

A termelési tényezők kereslete ugyanakkor az általuk előállított javak keresletéből származtatható. Az ezt leíró összefüggést Walras lineárisnak feltételezte. A javak keresleteinek együtthatóit technikai koefficienseknek nevezzük. Behelyettesítve a tényezőkeresletek helyére:

$\begin{matrix} a_t \cdot D_a + b_t \cdot D_b + c_t \cdot D_c + ... = O_t \\ a_p \cdot D_a + b_p \cdot D_b + c_p \cdot D_c + ... = O_p \\ a_k \cdot D_a + b_k \cdot D_b + c_k \cdot D_c + ... = O_k \\ ... \end{matrix}$

Walras kezdetben úgy vélte, hogy a technikai koefficiensek merevek, kizárólag a technológia függvényei. Az Élements harmadik kiadásában felülbírálta álláspontját. Erről részletesebben lásd: A technikai koefficiensek problémája.

[szerkesztés] Az ár-költség egyenletek

Az egyenletek negyedik csoportja a fogyasztási cikkek árának és átlagos termelési költségeinek azonosságát írja le. A költségek az előállításhoz szükséges tényezők árának az előző pontban megismert technikai koefficiensekkel súlyozott értékei.

$\begin{matrix} p_a = a_t \cdot p_t + a_p \cdot p_p + a_k \cdot p_k + ... \\ p_b = b_t \cdot p_t + b_p \cdot p_p + b_k \cdot p_k + ... \\ p_c = c_t \cdot p_t + c_p \cdot p_p + c_k \cdot p_k + ... \\ ... \end{matrix}$

Walras ezzel feltételezte, hogy a vállalatok (amelyek a tényezők fogyasztási cikkekké való transzformálását végzik) profitja az egyensúlyban 0.

[szerkesztés] A technikai koefficiensek problémája

Az Élements harmadik kiadásában Walras elvetette korábbi véleményét, miszerint a technikai koefficiensek csak a technológiától függnének, a vállalat döntésétől egyáltalán nem. Ezáltal Walras elismerte, hogy a tényezők bizonyos keretek között helyettesíthetők egymással akkor is, ha a vállalat ugyanazt a jószágot állítja elő.

Ha a technikai koefficiensek paraméterből ismeretlenné válnak, a modellben mn darab új ismeretlen lép fel. Csakhogy ugyanennyi egyenlet is keletkezik azáltal, hogy a vállalatok profitjuk maximalizálása érdekében mind az n tényező határtermék-bevételét egyenlővé teszik ezen tényezők árával; és ugyanezt megismétlik mind az m jószág gyártása folyamán.

[szerkesztés] Az egyenletek megoldhatósága

Összefoglalva a négy egyenletcsoportot:

Egyenletcsoport	Az egyenletek általános alakja	Az egyenletek száma
Fogyasztásicikk-keresleti egyenletek	$D_i = F_i(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...)\,$	n
Tényezőkínálati egyenletek	$O_j = F_j(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...)\,$	m
Tényezőpiaci egyenletek	$a_j \cdot D_a + b_j \cdot D_b + c_j \cdot D_c + ... = O_j$	m
Ár-költség egyenletek	$p_i = i_t \cdot p_t + i_p \cdot p_p + i_k \cdot p_k + ...$	n

Ismeretlen m + n − 1 jószág ára (mivel $p_a = 1\,$ – másképpen fogalmazva, m + n − 1 jószágnak az a-hoz viszonyított árarányát keressük), valamint a javak egyensúlyi mennyiségei (általánosan felírva: D_i és O_j). Az ismeretlenek száma tehát 2m + 2n − 1, ami látszólag eggyel alacsonyabb az egyenletek számánál. Valójában azonban nem, mert a 3. és 4. csoportba tartozó egyenletekből levezethető Walras törvénye, amit már az 1. és 2. csoportból is levezettünk. Úgy is mondhatjuk, hogy az egyenletrendszer szabadságfoka 2m + 2n − 1, egy tetszőlegesen kiválasztott egyenlet nem hordoz pluszinformációt a többihez képest, így elhagyható.

Walras úgy gondolta, hogy az egyenletek és az ismeretlenek számának egyezősége (ami, mint már említettük, változtatható technikai koefficiensek esetén is fennáll) elegendő ahhoz, hogy kijelentsük: az egyenletrendszer megoldható és a kapott gyökök egyértelműek. Valójában ez nincs így. 1954-ben ugyanakkor Kenneth Arrow és Gerard Debreu Nobel-díjas közgazdászok megmutatták, hogy akkor és csak akkor, ha egyetlen fogyasztási cikk gyártásának mérethozadéka sem növekvő, nincsenek kapcsolt termékek és externáliák, a walrasi egyenletrendszernek egyetlen, közgazdasági szempontból értelmes megoldása van.

[szerkesztés] Lásd még

Általános egyensúlyelmélet
Léon Walras

[szerkesztés] Irodalom

Bekker Zsuzsa (szerk.): Alapművek, alapirányzatok. Aula Kiadó, 2002. ISBN 963-9345-33-4.
Mátyás Antal: A modern közgazdaságtan története. Aula Kiadó, 1996. ISBN 963-503-0673.

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../w/a/l/Walrasi_egyenletek.html"

Kategória: Mikroökonómia