Sűrűségfüggvény

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az X valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f(x) pontosan akkor, ha az X-nek az F(x)-szel jelölt eloszlásfüggvénye előállítható a következő alakban:

[szerkesztés] A sűrűségfüggvény tulajdonságai

• Diszkrét eloszlású valószínűségi változóknak nincs sűrűségfüggvénye.
• Sűrűségfüggvénye csak folytonos eloszlású valószínűségi változónak lehet.
• Még a folytonos eloszlású valószínűségi változók közül sincs mindnek eloszlásfüggvénye, csak egy speciális osztályuknak, az abszolút folytonos valószínűségi változóknak, melyeket pontosan azzal a tulajdonsággal definiálunk, hogy van sűrűségfüggvényük.
• A definícióból nyilvánvalóan látszik, hogy

bármely sűrűségfüggvény esetén. Ám az is megmutatható, hogy egy tetszőleges f(x) mérhető függvény pontosan akkor sűrűségfüggvény (vagyis pontosan akkor található hozzá olyan valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye) ha f(x) ≥ 0 majdnem mindenütt és a fenti tulajdonság teljesül rá.

• A definícióból adódik, hogy ha X valószínűségi változónak van sűrűségfüggvénye, akkor az eloszlásfüggvénye és a sűrűségfüggvénye között a következő kapcsolat áll fenn: F '(x)=f(x), vagyis az eloszlásfüggvényből egyszerű deriválással kapjuk a sűrűségfüggvényt.
• A sűrűségfüggvény ismeretében több, a valószínűségi változóval kapcsolatos esemény valószínűsége megadható. Bármely A Borel-halmaz esetén

• Speciálisan

[szerkesztés] A sűrűségfüggvény általánosítása

Létezik a matematikai statisztikában a sűrűségfüggvénynek egy általánosítása, az általánosított sűrűségfüggvény, mely a valószínűségi mező egy általánosításán, a statisztikai mezőn értelmezett, s definíciójában olyan mély mértékelméleti eszközöket használ, mint a Radon-Nikodym-derivált. Általánosított sűrűségfüggvénye minden valószínűségi változónak van, s abszolút folytonos esetben a sűrűségfüggvénnyel, míg diszkrét esetben a P(x) függvénnyel azonos.

[szerkesztés] Források

• Bognár J.-né - Mogyoródi J. - Prékopa A. - Rényi A. - Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
• Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.