Félcsoport

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A matematikában az asszociatív grupoidokat félcsoportoknak nevezzük. Részletesebben ez azt jelenti, hogy a félcsoport egy olyan struktúra, amelyben definiálva van egy kétváltozós, asszociatív művelet.

Ha az adott műveletet $(A; + )$ módon jelöltük, akkor általában összeadásként, ha pedig $(A; \cdot )$ módon jelöltük, akkor általában szorzásként beszélünk róla, de ez nem jelenti azt, hogy a számok összeadásáról vagy szorzásáról van szó, hiszen a definícióban ezt nem követeltük meg.

[szerkesztés] Definíció

Legyen $(A; \cdot )$ tetszőleges groupid. Azt mondjuk, hogy $(A; \cdot )$ félcsoport, ha tetszőleges $a, b, c \in A$ elemekre

$a\cdot (b\cdot c) = (a \cdot b)\cdot c$

teljesül.

[szerkesztés] Tulajdonságok

Tetszőleges félcsoportban teljesül az általános asszociativitás tétele, ami azt jelenti, hogy asszociativitás kiterjeszthető $n \in N$ elemre, azaz egy n-változós szorzatban sem függ végeredmény a zárójelezés sorrendjétől, ezért a zárójelezés elhagyható.
Tetszőleges $(A; \cdot )$ félcsoportban teljesül, hogy reguláris elemek szorzata reguláris elem, azaz tetszőleges félcsoport reguláris elemei (ha léteznek) félcsoportot alkotnak.
Tetszőleges félcsoport bármely reguláris elemének vagy van inverze, vagy pedig nincs balinverze. (Illetve ennek az állításnak természetesen a duálisa is teljesül.)
Bármely $(A; \cdot )$ félcsoport tetszőleges $a \in A$ idempotens elemére akkor és csak akkor teljesül a baloldali egyszerűsítési szabály, ha $a$ balegységelem.
Félcsoportban a reguláris és idempotens elem egységelem.
Ha $(A; \cdot )$ véges félcsoport és van reguláris eleme, akkor van egységeleme.