Divergens sorozat

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Egy sorozat divergens, ha minden számhoz létezik olyan környezet, melyben minden küszöbindex után van egy olyan sorozatelem, mely nincs benne a környezetben. Más megfogalmazásban, egy sorozat divergens, ha nem konvergens.

Tartalomjegyzék

1 Matematikai definiciója
- 1.1 Metrikus terekben
- 1.2 Számtestekben
2 Példák
3 Megjegyzések, tételek

[szerkesztés] Matematikai definiciója

[szerkesztés] Metrikus terekben

$(K, d)$ metrikus tér

$a_n \in K, n \in \mathbb{N}$ mely szerint $a \$ tehát $K \$ elemeiből alkotott sorozat

ha a következő teljesül:

$\forall {\alpha \in K } \ \exist {\epsilon > 0} \ \forall n_0 \in \mathbb{N} \ \exist n \in \mathbb{N} :( n > n_0 \ \and d \left( a_n , \alpha \right) > \epsilon)$

akkor a sorozat divergens, és nincs határértéke.

[szerkesztés] Számtestekben

$K$ számtest

$a_n \in K, n \in \mathbb{N}$ mely szerint $a \$ tehát $K \$ elemeiből alkotott sorozat

ha a következő teljesül:

$\forall {\alpha \in K } \ \exist {\epsilon > 0} \ \forall n_0 \in \mathbb{N} \ \exist n \in \mathbb{N} :( n > n_0 \ \and \mid a_n - \alpha \mid > \epsilon)$

akkor a sorozat divergens, és nincs határértéke.

Megjegyzés: minden K számtest metrikus tér a $d(a,b) \ := \ \mid a - b \mid$ metrikával, ahol az |a-b| függvény az a,b elemek különbségének abszolútértéke; azaz |x| := {z∈K | (z=x ∨ z=-x) ∧ z>0 }.

[szerkesztés] Példák

${ n \in \mathbb{N} },{ a_n \in \mathbb{R} }$

$a_n = {(-1) ^ n \ }$

ennek a sorozatnak minden páros eleme 1 minden páratlan eleme -1

$a_n = n \$

ennek a sorozatnak nincs határértéke $\mathbb{R} \$ -ben.

[szerkesztés] Megjegyzések, tételek

Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Valós számsorozat lényegében kétféleképpen lehet nem konvergens. Vagy azért divergens, mert nem egy, hanem több érték körül csoportosul a sorozat elemei (például az $a n = ( - 1) n$ sorozat az 1 és a −1 értékeket is végtelen sokszor felveszi), az ilyen tipusú sorozatra azt mondjuk, hogy oszcillálva divergál. A másik lehetőség, mikor a sorozat elemei minden határon túl nőnek, tehát nem korlátos a sorozat. Ha egy a_n sorozatra igaz, hogy bármely 0 < N-re található olyan n₀ küszöbszám, hogyha n > n₀ akkor a_n > N, akkor azt mondjuk, hogy a sorozat a plusz végtelenbe divergál. Ha a kibővített valós számok felett tekintünk erre a sorozatra, akkor a plusz végtelenbe konvergál kifejezést is használhatjuk. Például