Borel–Lebesgue-tétel

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Borel–Lebesgue lefedési tétel vagy Heine–Borel-tétel a matematikai analízis egy a zárt, korlátos intervallumok lényeges tulajdonságára rámutató tétel, mely a topologikus terek elméletében a kompakt halmaz fogalmának motivációjául szolgál.

[szerkesztés] A tétel

Tétel – (Dirichlet 1862, Heine 1872) – Ha K ⊆ R korlátos és zárt halmaz és K-nak $\mbox{ }_{(\Omega_i)_{i\in I}}$ nyílt lefedése, akkor ebből kiválasztható véges sok elem, mely még mindig lefedi K-t.

(A K nyílt lefedésén olyan nyílt halmazokból álló $\mbox{ }_{(\Omega_i)_{i\in I}}$ halmazrendszert értünk, amire teljesül, hogy K részhalmaza $\mbox{ }_{(\Omega_i)_{i\in I}}$ uniójának.)

[szerkesztés] Bizonyítás

A Cantor-féle közösrész tétel egy ekvivalens megfogalmazását fogjuk használni. Eszerint, ha $\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}$ R-beli korlátos és zárt halmazok olyan nemüres rendszere, hogy minden α, β ∈ A indexre létezik olyan γ ∈ A index, hogy F_γ ⊆ F_α∩F_β (azaz lefelé irányított), akkor az $\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}$ halmazrendszer metszete nem üres.

Jelölje A az $I$ véges részhalmazainak halmazát és legyen tetszőleges α ∈ A-ra:

$F_{\alpha}:=K\setminus \bigcup\limits_{i\in\alpha}\Omega_i$

Ekkor a $\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}$ halmazrendszer olyan, hogy minden eleme korlátos és zárt R-ben és tetszőleges α, β ∈ A-ra a γ := α U β elem olyan, hogy F_γ ⊆ F_α∩F_β. A tételt azt igazolná, ha belátnánk, hogy van olyan α∈A, hogy F_α ≠ ∅, ugyanis ekkor

$K\subseteq \bigcup\limits_{i\in\alpha}\Omega_i$

teljesülne.

Ha $\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}$ minden eleme nemüres volna, akkor a Cantor-axióma fenti alakjából következne, hogy

$\bigcap\limits_{\alpha\in A}F_{\alpha}\ne\emptyset$

ami ellentmondás, hiszen $\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}$ definíciójából és a halmazkivonásra vonatkozó de-Morgan-szabályból következik, hogy

$\bigcap\limits_{\alpha\in A}F_{\alpha}=K\setminus\bigcup\limits_{\alpha\in A}\left(\bigcup\limits_{i\in \alpha}\Omega_i\right)=K\setminus\bigcup\limits_{i\in I}\Omega_i=\emptyset$

Tehát van $\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}$ -nak olyan eleme, mely üres, és az ezt indexező α∈A-val a $\mbox{ }_{(\Omega_i)_{i\in \alpha}}$ a kívánt tulajdonságú lefedés lesz.■

[szerkesztés] A tétel megfordítása

A lefedési tulajdonság motiválja a kompakt halmaz fogalmát. A K ⊆ R halmaz kompakt, ha minden nyílt lefedéséből kiválasztható véges részlefedés. Ekkor a Borel–Lebesgue-tétel megfordítása érvényes:

Tétel – R-ben minden kompakt halmaz korlátos és zárt.

Bizonyítás. Legyen K kompakt halmaz.

Először a korlátosságot látjuk be. Legyen u tetszőleges R-beli pont. Ekkor világos, hogy a (B(u,n))_n∈N rendszer lefedi K-t. Ebből kiválaszható véges részlefedés, melyek közül a legnagyobb sugarú lefedi K-t, így K átmérője legfeljebb ennek a sugárnak a kétszerese.

Vegyünk egy tetszőleges x pontot K komplementeréből (x ∉ K). A

$\mbox{ }_{\left(\,B\left(y,\frac{d(y,x)}{2}\right)\,\right)_{y\in K}}$

rendszer lefedi K-t így létezik n darab y₁, ..., y_n K-beli elem, hogy

$\mbox{ }_{K\subseteq\bigcup\limits_{i=1,...,n}\,B\left(y_i,\frac{d(y_i,x)}{2}\right)}$

Ha r a legkisebb sugár mindközül, akkor a B(x,r) halmaz nem metsz bele az iménti lefedés egyik elemébe sem, így K-ba sem. Tehát K komplementere nyílt, K pedig zárt.

[szerkesztés] Általánosítás

Mind a tétel, mind a megfordítása igaz Rⁿ-re is:

Rⁿ egy részhalmaza akkor és csak akkor kompakt, ha korlátos és zárt.

Ám, tetszőleges M metrikus térben csak a megfordítás érvényes:

Ha H az M metrikus tér részhalmaza, akkor:

H kompakt $\Rightarrow$ H korlátos és zárt

H kompakt $\not\Leftarrow$ H korlátos és zárt

Létezik ugyanis olyan metrikus tér és benne olyan korlátos és zárt halmaz, ami nem kompakt. Ilyen például a korlátos számsorozatok $\mbox{ }_{\ell^{\infty}(\mathbf{R})}$ tere, ahol a norma: ||(x_n)||=sup_n{|x_n|}, az ellenpélda pedig a $\mbox{ }_{\overline{B}(0,1)=\{s\in\ell^{\infty}(\mathbf{R})\;|\;||s-0||\leq 1\}}$ zárt gömb (itt 0 az azonosan 0 sorozat).

Metrikus terekben a kompaktság ekvivalens a sorozatkompaktság fogalmával, így a Borel–Lebesgue-tétel és a Bolzano–Weierstrass-tétel ugyanannak a fogalomnak két ekvivalens megfogalmazását mondják ki. Ilyen általános közegben a kompaktság jellemzésére vonatkozik a tétel egy általánosítása:

Tétel – Egy metrikus tér tetszőleges részhalmaza akkor és csak akkor kompakt, ha teljes és teljesen korlátos.

Tetszőleges (legalább Hausdorff-féle) topologikus térben kompakt halmazokra a Borel–Lebesgue-tétel állítása definíció szerint teljesül, hiszen ezeken a terekben a kompaktság a lefedési tulajdonsággal van definiálva. (Itt a korlátosság más kontextusban vetődik fel, hiszen ezekben a terekben a kompakt halmazok részhalmazait nevezik korlátosnak. A zártság ugyanúgy fennáll.)

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../b/o/r/Borel%E2%80%93Lebesgue-t%C3%A9tel_ec36.html"

Kategóriák: Topológia | Matematikai tételek