Bolzano–Weierstrass-tétel

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Bolzano–Weierstrass-tétel a matematika analízis nevű ágának egyik fontos, és a topológiában messzemenőkig általánosítható tétele. Alapesetben valós számorozatokról szól éspedig azt mondja ki, hogy korlátos sorozatból mindig kiválasztható konvergens részsorozat. Ebben a formában néha Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tételnek is nevezik. A tétel azért jelentős, mert motiváló szerepe van a Hausdorff-féle topológikus terek kompakt halmazainak sorozatok segítségével történő jellemzéséhez.

Tartalomjegyzék

1 A tétel állítása
2 Bizonyítás
- 2.1 Intervallumfelezéssel
- 2.2 Csúcselemmel
3 Következmény
4 Története
5 Külső hivatkozások

[szerkesztés] A tétel állítása

Minden korlátos, valós számsorozatnak van konvergens részsorozata.

[szerkesztés] Bizonyítás

[szerkesztés] Intervallumfelezéssel

Legyen (a_n) korlátos számsorozat, ekkor (a_n) lefedhető valamely [α,β] korlátos és zárt intervallummal. Intervallumfelezéses eljárással rekurzív módon definiálni fogunk egymásba skatulyázott, nullához tartó hosszúságú intervallumok ( $I$ _k) sorozatát a következőképpen.

$I 0$ :=[α₀,β₀]:=[α,β]
Ha k természetes szám, és $I$ _k=[α_k,β_k] már definiálva van, akkor osszuk két egyenlő hosszúságú részre: $I$ _k = [α_k,c_k] U [c_k,β_k]. Valamelyikben a sorozatnak bizonyosan végtelen sok különböző indexű tagja van (ellenkező esetben ugyanis nem beszélhetnénk végtelen sorozatról). Természetesen előfordulhat, hogy mindkettőbe végtelen sok tag esik. A meghatározottság kedvéért legyen $I$ _k+1 a két fél közül az az intervallum, melyben végtelen sok különböző indexű tag esik és ezek közül a „jobboldali” félintervallum. (Ezzel azt értük el, hogy az intervallumsorozat minden tagjában lesz sorozatbeli elem.)

A Cantor-axióma (vagy Cantor-féle közöspont tétel) szerint, mely az egymásba skatulyázott intervallumokról szól az ( $I$ _k) intervalumsorozatnak létezik egyetlen közös pontja, legyen ez c.

Megállapíthatjuk, hogy minden k természetes számra végtelen sok olyan i index (természetes szám) van, hogy a_i ∈ $I$ _k, tehát minden k természetes számra igaz, hogy

$H_k=\{i\in \mathbb{N}\mid a_i\in I_k\}\ne \emptyset$ .

Megjegyezzük, hogy a természetes számok jólrendezési tulajdonsága miatt ezeknek a nemüres halmazoknak van minimális elemük. Ezekből a halmazokból kell kiválasztanunk egy (i_k) indexsorozatot (tehát egy szigorúan monoton növekvő sorozatot). Ezt szintén rekurzióval tesszük.

i₀:=min H₀
Ha már i_k definiálva van minden k-nél nem nagyobb természetes számra, akkor legyen i_k+1 az a szám, amelyik nagyobb az eddig definiált véges sok elemtől és a legkisebb ilyen elem H_k+1-ben.

Ekkor az

$(a_{i_k})$

sorozat c-hez konvergál. ■

Vegyük észre, hogy bár kiválasztásról van szó, mégsem kellett használnunk a kiválasztási axiómát, hiszen a természetes számokat a szokásos rendezés jólrendezi, így mindig konstruktívan (egyértelműen megnevezve) tudtunk kijelölni egy elemet a nemüres részhalmazaiból.

[szerkesztés] Csúcselemmel

Belátjuk, hogy minden valós sorozatból kiválasztható monoton részsorozat.

Ehhez először vezessük be a csúcselem fogalmát. $a k$ -t csúcselemnek nevezzük, ha minden $n \geq k$ esetén $a_n \leq a_k$ . (Vagyis azokat az elemeket nevezzük így, amelyeknél a nagyobb indexű elemek között nincs nagyobb.)

Ekkor két eset lehetséges:

Végtelen sok csúcselem van a sorozatban. Ha $n_1 < n_2 < n_3 < \ldots$ indexek, melyekre $a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, \ldots$ csúcselemek, akkor ez utóbbi sorozat nyilvánvalóan monoton csökkenő.
Véges sok csúcselem van a sorozatban. Vagyis létezik $n 0$ , hogy minden $n > n 0$ esetén $a n$ nem csúcselem.

De $a_{n_0}$ nem csúcselem, vagyis létezik $n 1 > n 0$ , hogy $a_{n_1} > a_{n_0}$ .
De $a_{n_1}$ nem csúcselem, vagyis létezik $n 2 > n 1$ , hogy $a_{n_2} > a_{n_1}$ stb.

Ekkor viszont $a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, \ldots$ nyilván szigorúan monoton növő sorozat.

Vagyis minden sorozatnak van monoton részsorozata. De a mi sorozatunk egyben korlátos is, márpedig korlátos monoton sorozat konvergens.

[szerkesztés] Következmény

Az előbbi tétel múlhatatlan fontosságú következménye, hogy egy R-beli halmaz pontosan akkor korlátos és zárt, ha kompakt. Itt egészen pontosan sorozatkompaktságról van szó, azaz arról, amikor egy tetszőleges H ⊆ R halmazra teljesül, hogy minden H-beli értékeket felvevő sorozatnak van H-beli határértékű konvergens részsorozata. Az alábbi tételt néha szintén Bolzano–Weierstrass-tételnek nevezik (csak ekkor nem mondják oda a „kiválasztási” jelzőt).

Tétel – Egy H ⊆ R halmaz akkor és csak akkor korlátos és zárt, ha sorozatkompakt.

Bizonyítás. Először tegyük fel, hogy H korlátos és zárt. Ekkor a Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tételből következik, hogy minden H-ban haladó sorozatnak – minthogy ezeket lefedi a korlátos H – létezik konvergens rélszsorozata. H zártságából pedig az következik, hogy minden H-beli értékeket felvevő konvergens sorozat határértéke szintén H-beli, amivel az állítás első fele bebizonyosodott.

Másrészt legyen H sorozatkompakt. Ha nem lenne korlátos, akkor tetszőleges n természetes számra

$H_n:=\{x\in H\mid |x|>n\}\ne \emptyset$

lenne, és így a kiválasztási axióma segítségével definiálhatunk egy (s_n) sorozatot, melynek elemei rendre H_n-beliek. Ekkor minden n természetes számra s_n > n, és így tetszőleges (k_n) indexsorozatra (szig. mon. növekvő) |s(k_n)| > k_n > n, ami azt jeleni, hogy (s_n)-nek nincs konvergens részsorozata.

A zártsághoz tekintsük H lezártjának egy h elemét. Ekkor létezik h határértékkel H-beli elemekből konvergens sorozat, melyből a sorozatkompaktság miatt szükségképpen h ∈ H következik. ■

A tétel párja a Borel–Lebesgue-féle lefedési tétel, mely szerint korlátos és zárt R-beli halmaz minden nyílt lefedéséből kiválasztható véges részlefedés (korlátos és zárt R-beli halmaz kompakt).

Megjegyezzük, hogy a tételek Rⁿ-ben is érvényesek.

[szerkesztés] Története

A tétel Bernard Bolzanóról és Karl Weierstrassról kapta a nevét. Először Bolzano bizonyította, de bizonyítása elveszett. Weierstrass újra bebizonyította, és az analízis egyik meghatározó tétele lett. Ezt követően kiderült, hogy korábban már Bolzano belátta az állítást, ezért kapta jelenlegi nevét a tétel.