Bolzano-tétel

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Tartalomjegyzék

1 Tétel
2 Bizonyítás
- 2.1 Egymásba skatulyázott intervallumokkal
- 2.2 A nemsztenderd analízis eszközeivel
3 Ekvivalens állítás
4 Következmény
5 Külső hivatkozások

[szerkesztés] Tétel

Intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő, folytonos függvénynek van zérushelye.

[szerkesztés] Bizonyítás

[szerkesztés] Egymásba skatulyázott intervallumokkal

Legyen f:I $\rightarrow$ R a fenti függvény és a illetve b az értelmezési tartományának olyan pontjai, melyekben a függvény előjele ellenkező és a < b. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy f(a)<f(b). Intervallumfelezéses eljárással megmutatjuk, hogy a függvénynek van zérushelye. Legyen (x_n) és (y_n) a következő, közösen, rekurzív módon definiált sorozat:

$x_0:=a\,$

$y_0:=b\,$

Tetszőleges n ∈ N-re legyen

$c_n:=\frac{x_n + y_n}{2}$

Ha $f(c_n) = 0\,$ , akkor megtaláltuk f egy keresett zérushelyét.
Ha $f(c_n) < 0~\Rightarrow x_{n+1}:=c_n;\quad y_{n+1}:=y_n$
Ha $f(c_n) > 0~\Rightarrow x_{n+1}:=x_n;\quad y_{n+1}:=c_n$

Ha c sosem nulla, akkor: $x_n < 0~(n\in\mathbb{N})$ monoton nő, $y_n>0~(n\in\mathbb{N})$ monoton csökken, mivel az algoritmust így készítettük el.
A két sorozat tagjainak „távolsága”: $\left|x_n-y_n\right| = \frac{y_0 - x_0}{2^n} \to 0~(n\to\infty) (*)$ . Mivel $x_n, y_n \in [a,b]$ zárt intervallum, és mert mindkét sorozat monoton, $\exists \lim(x_n)$ és $\lim(y_n)$ , és ezek (*) miatt egyenlőek. Legyen ez a határérték ξ!

De f folytonos ξ-ben, tehát a folytonosságra vonatkozó átviteli elv alapján: $f(\xi)=\lim(f(x_n))\le 0$ és $f(\xi) = \lim(f(y_n)) \ge 0 \quad (n\in\mathbb{N})$ . Ez csak úgy lehetséges, ha $~f(\xi) = 0\,$ ■

[szerkesztés] A nemsztenderd analízis eszközeivel

Legyen f a fenti tulajdonságú függvény és legyen a illetve b az értelmezési tartománya olyan pontja, hogy a<b és f(a)<0<f(b) (ez feltehető; ellenkező esetben -f-re kell alkalmazni a gondolatmenetet). Legyen ω végtelen nagy természetes szám. Osszuk fel az [a,b] intervallumot ω darab egyenlő részre, az osztópontokat jelöljük x_n-nel. Legyen

$H:=\{n\mid f(x_n)\leq 0\}$

H nem üres, mert f(a) negatív (a az első „osztópont”) és véges halmaz a nemsztenderd valós számok között (ezt úgy jelöljük, hogy H *véges), így van maximális eleme. Legyen ez az elem M és a hozzá tartozó osztópont x_M. Belátjuk, hogy ha ξ az x_M sztenderd része (vagyis az a normális valós szám, ami végtelenül közel van x_M-hez), akkor f(ξ) = 0.

Ha f(ξ) > 0 lenne, akkor f(x_M)-et (tekintve, hogy f(x_M) nem pozitív) egy véges, nemnulla sztenderd szám választaná el f(ξ)-től, ami f folytonossága miatt lehetetlen (hiszen ξ végtelen közel van x_M-hez).

Ha f(ξ) < 0 lenne, akkor szintén a folytonosság miatt minden, a ξ ponthoz végtelenül közeli pontban a függvény negatív, például az

$x_{M+1}=x_M+\frac{1}{\omega}$

helyen is (világos, hogy x_M+1 létezik és kisebb mint b, mert ott f pozitív lenne), ami ellentmond M maximális voltának. ■

[szerkesztés] Ekvivalens állítás

A Bolzano-tételt a következőképen is ki szokták mondani:

Ha f:[a,b] $\rightarrow$ R korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény, és f(a) $\cdot$ f(b) < 0, akkor van az (a,b) nyílt intervallumon zérushelye.

Ha f:[a,b] $\rightarrow$ R korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény, akkor minden y ∈ [f(a),f(b)]-re létezik olyan ξ ∈ [a,b], amire y=f(ξ).

Ez a két megfogalmazás ekvivalens.

[szerkesztés] Következmény

Ez a kiterjesztés a következőt jelenti: minden a fenti feltételeknek eleget tevő (intervallumon értelmezett és folytonos) függvényre igaz, hogy minden $a,b\in\mathcal{D}_f,~a<b$ -re, ha $f(a)\ne f(b)$ , igaz, hogy $\forall c\in [f(a), f(b)]~\exists \xi \in [a,b]~:~f(\xi) =c$ .

Vegyük észre, hogy ez a függvény Darboux-tulajdonságát jelenti, azaz minden intervallumon értelmezett folytonos függvény Darboux-tulajdonságú. (Lásd: Bolzano–Darboux-tétel)