Variedad pseudoriemanniana
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En geometría diferencial, una variedad pseudoriemanniana es un variedad diferenciable equipada con un tensor (0, 2) diferenciable, simétrico, que es no degenerado en cada punto de la variedad. Este tensor se llama un tensor métrico pseudoriemanniano. Las variedades pseudoriemannianas tienen su interés teoría de la relatividad general, ya que uno de los supiestos básicos es que el espacio-tiempo puede modelizarse como una variedad pseudoriemanniana de cuator dimensiones de signatura (3,1).
[editar] Variedades riemannianas y pseudoriemanninas
La diferencia clave entre una métrica Riemanniana y una métrica pseudoriemanniana es que una métrica pseudoriemanniana no necesita ser positiva-definida, simplemente no degenerada. Puesto que cada forma positivo-definida es también no degenerada una métrica Riemanniana es un caso especial de pseudoriemanniano. Así las variedades pseudoriemannianas se pueden considerar generalizaciones de las variedades de Riemann.
Cada forma no degenerada, simétrica bilineal tiene una signatura fija (p, q). Aquí p y q denotan el número de los valores propios positivos y negativos de la forma. La signatura de una variedad pseudoriemanniana es justa la signatura del métrico (uno debe insistir que la signatura está igual en cada componente conexo). Observe que p + q = n es la dimensión dla variedad. Los variedades de Riemann son simplemente ésos con la signatura (n, 0).
El espacio modelo para una variedad pseudoriemanniana de signatura (p, q) es Rp, q con la métrica
Algunos teoremas básicos de la geometría de Riemann se pueden generalizar al caso pseudoriemanniano. En particular, el teorema fundamental de la geometría de Riemann es verdad en las variedades pseudoriemannianas también. Esto permite que se hable de la conexión de Levi-Civita en una variedad pseudoriemanniana junto con el tensor asociado de curvatura. Por otra parte, hay muchos teoremas en la geometría de Riemann que no se sostienen en el caso generalizado. Por ejemplo, no es verdad que cada variedad diferenciable admite un métrica pseudoriemanniana de una signatura dada; hay ciertas obstrucciones topológicas.
[editar] Variedades de Lorentz
Las métricas pseudoriemannianas de signatura (p, 1) (o a veces (1, q), considerando la convención de signo) se llaman métricas de Lorentz. Un variedad equipada de una métrica de Lorentz naturalmente se llama una variedad de Lorentz. Después de las variedades de Riemann, las variedades de Lorentz, forman la subclase más importante de las variedades de Riemann. Son importantes debido a sus usos físicos para la teoría de la relatividad general. Una asunción principal de la relatividad general es que el espacio-tiempo se puede modelar como variedad de Lorentz de la signatura (3, 1).
Así pues, el espacio euclídeo Rn se puede pensar como la variedad modelo de Riemann, el espacio de Minkowski Rp,1 con la métrica chata de Minkowski es la variedad modelo de Lorentz.
