Conexión de Levi-Civita
De Wikipedia, la enciclopedia libre
En geometría de Riemann, la conexión de Levi-Civita (nombrada así por Tullio Levi-Civita) es la conexión libre de torsión del fibrado tangente, preservando una métrica de Riemann (o métrica seudoriemanniana) dada. El teorema fundamental de la geometría de Riemann establece que hay una conexión única que satisfacen estas propiedades.
En la teoría de una variedad de Riemann o de una variedad seudoriemanniana el término derivada covariante se utiliza a menudo para la conexión de Levi-Civita. La expresión en coordenadas espaciales de la conexión se llama los símbolos de Christoffel.
Tabla de contenidos |
[editar] Definición formal
Sea (M, g) una variedad de Riemann (o una variedad seudoriemanniana) entonces una conexión afín ∇ es una conexión de Levi-Civita si satisface las condiciones siguientes
- Preserva la métrica, es decir, para cualesquiera campos vectoriales X, Y, Z tenemos
, donde X g(Y, Z) denota la derivada de la función g(Y, Z) a lo largo del campo vectorial X.
- Es libre de torsión, es decir, para cualesquiera campos vectoriales X y Y tenemos
![\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]](../../../math/a/4/6/a46e8900b1310f87838ba8dc11f1fa5f.png)
, donde [X,Y] es el corchete de Lie de los campos vectoriales X y Y.
[editar] Derivada a lo largo de una curva
La conexión de Levi-Civita define también una derivada a lo largo una curva, denotada generalmente por D.
Dado curva diferenciable γ sobre (M, g) y un campo vectorial V en γ su derivada se define como
.
[editar] Conexión estandar de 
Para dos campos vectoroiales X,Y en el espacio euclídeo n-dimensional, ésta está dada por la regla
donde Y' es el jacobiano de Y.
