Torsión (ingeniería)

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Viga circular bajo torsión

En ingeniería, torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas.

La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por la dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él (ver torsión geométrica).

[editar] Torsión recta: Teoría de Coulomb

La teoría de Coulomb es aplicable a ejes de transmisión de potencia. De acuerdo con la teoría de Coulomb la torsión genera una tensión cortante el cual se calcula mediante la fórmula:

$\tau\ = \frac {T \rho\ }{J}$

donde:
$\tau\$ : Esfuerzo cortante.
$T$ : Torsión.
$\rho\$ : distancia desde el centro hasta el punto donde se está calculanda la tensión cortante.
$J$ : Momento polar de inercia.
Esta ecuación se asienta en la hipótesis cinemática de Coulomb sobre como se deforma una pieza prismática con simetría de revolución, es decir, es una teoría aplicable sólo a elementos sección circular o circular hueca. Para piezas con sección de ese tipo se supone que el eje baricéntrico permanece inalterado y cualquier otra línea paralea al eje se transforma en una espiral que gira al rededor del eje baricéntrico, es decir, se admite que la deformación viene dada por unos desplazamientos del tipo:

$u_x(x,y,z) = 0 \qquad u_y(x,y,z) = -\alpha(x) z \qquad u_z(x,y,z) = +\alpha(x) y$

El tensor de deformaciones para una pieza torsionada como la anterior se obtiene derivando adecuadamente las anteriores componentes del vector de desplazamiento:

$\varepsilon_{xx} = \frac{\partial u_x}{\partial x} = 0 \qquad \varepsilon_{xy} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_x}{\partial y} + \frac{\partial u_y}{\partial x}\right) = -\frac{1}{2} \frac{\partial \alpha}{\partial x}z = -\frac{\alpha'_x z}{2}$

$\varepsilon_{yy} = \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0 \qquad \varepsilon_{xz} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_x}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial x}\right) = +\frac{1}{2} \frac{\partial \alpha}{\partial x}y = +\frac{\alpha'_x y}{2}$

$\varepsilon_{zz} = \frac{\partial u_z}{\partial z} = 0 \qquad \varepsilon_{yz} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_y}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial y}\right)= 0$

A partir de estas componentes del tensor de deformaciones usando las ecuaciones de Lamé-Hooke llevan a que el tensor tensión viene dado por:

$\mathbf{T}_{tor} = \frac{G}{2} \begin{bmatrix} 0 & -\alpha'_x z & +\alpha'_x y \\ -\alpha'_x z & 0 & 0 \\ +\alpha'_x y & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Usando las ecuaciones de equivalencia se llega a la relación existente entre la función α y el momento torsor:

$M_{tor} = \int_\Sigma (-\tau_{xy}z +\tau_{xz}y) dydz = \frac{\alpha'_x G}{2} \int_\Sigma (z^2 +y^2) dydz \, = \frac{\alpha'_x G}{2}I_0$

Donde $I_0 = I_y + I_z \,$ , es el momento de inercia polar que es la suma de los segundos momentos de área.

[editar] Torsión alabeada: teoría de Saint-Venant

La teoría de la torsión de Saint-Venant es aplicable a piezas prismáticas con cualquier forma de sección. Para secciones no circulares y sin simetría de revolución la teoría de Sant-Venant además de un giro relativo de la sección transversal respecto al eje baricéntrico predice un alabeo o curvatura de la sección transversal.