Números grandes

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Sistema numérico en matemática.
Conjuntos de Números
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ Número Naturales $\mathbb{N}$ Enteros $\mathbb{Z}$ Racionales $\mathbb{Q}$ Irracionales $\mathbb{I}$ Reales $\mathbb{R}$ Complejos $\mathbb{C}$
Números destacables
π (Pi) (3.1415926535...) e (2.7182818284...) Φ (1,6180339887...) i ( $\sqrt{-1}$ )
Números Especiales
Nominales Ordinales {1^o,2^o,...} (de orden) Cardinales { $\aleph_1, \aleph_2, \cdots$ } Números infinitos Números transfinitos
Números con propiedades especiales
Primos $\mathbb{P}$ , Abundantes, Perfectos, Defectivos, Amigos, Sociables, Algebraicos

Los números grandes son números que, por su naturaleza, están fuera de cualquier escala tradicional.

**Tabla de números grandes**
Suceso	Número
Probabilidad de ser fulminado por un rayo (por día)	1 entre 9.000.000.000 (2³³)
Probabilidad de ganar la Lotería Primitiva Española	1 entre 13.983.816 (2²⁴)
Probabilidad de ganar la Lotería Primitiva Española y ser fulminado por un rayo el mismo día	1 entre 2⁵⁷
Tiempo hasta la próxima glaciación	14.000 (2¹⁴) años
Tiempo hasta que el Sol estalle	10⁹ (2³⁰) años
Edad de la Tierra	10⁹ (2³⁰) años
Edad del Universo	10¹⁰ (2³⁴) años
Número de átomos en el Tierra	10⁵¹ (2¹⁷⁰) átomos
Número de átomos en el Sol	10⁵⁷ (2¹⁸⁹) átomos
Número de átomos en la Vía Láctea	10⁶⁷ (2²²³) átomos
Número de átomos en el Universo (excluyendo la materia oscura)	10⁷⁷ (2²⁵⁵)
Masa de la Tierra	5,9 x 10²⁴ (2⁸²) kg.
Masa del Sol	2 x 10³⁰ (2¹⁰⁰) kg.
Masa estimada del Universo (excluyendo la materia oscura)	10⁵⁰ (2¹⁶⁶) kg.
Volumen de la Tierra	10²¹ (2⁶⁹) m³
Volumen del Sol	10²⁷ (2⁸⁰) m³
Volumen estimado del Universo	10⁸² (2²⁷²) m³

También se presentan algunos números grandes en la vida cotidiana:

**Tabla de números grandes en la vida cotidiana**
Suceso	Número
Número de cigarrillos fumados anualmente en EE.UU.	~ 10¹²
Número de bits en un disco duro moderno (2006)	~ 10¹² (125 GB)
Número de células del cuerpo humano	>10¹⁴
Número estimado de conexiones neuronales en el cerebro humano	>10¹⁴
Número de Avogadro	6.0225·10²³

[editar] Algunos números todavía mayores

Los procesos basados en la matemática combinatoria generan rápidamente números muy superiores a los mostrados anteriormente. Los factoriales tienen un crecimiento muy rápido conforme aumentan el número de objetos implicados; éste crecimiento se puede aproximar mediante la fórmula de Stirling. Procesos combinatorios aplicados sobre un número muy elevado de partículas dan lugar también a números exageradamente grandes, como los que salen de la mecánica estadística. A menudo, tales números sólo se expresan a partir de sus logaritmos.

Los números de Gödel, y otros números parecidos que se usan en la representación de cadenas de bits son muy grandes, incluso para proposiciones matemáticas de longitud razonable. Además, algunos números patológicos son mayores, incluyendo proposiciones matemáticas no demasiado largas.

[editar] Ejemplos

Googol: $10100$
Googolplex: $10^{10^{100}} = 10^{\mathrm{googol}} = \mathrm{googol}^{10^{98}}$ , el número de combinaciones posibles de un sistema formado por 10⁹⁸ partículas, cada una de las cuales puede estar en googol estados diferentes. También, el número de estados en los que puede estar un sistema formado por un googol de partículas con 10 niveles accesibles para cada una de ellas.
Centillón: $10^{303}\ o\ 10^{600}$ dependiendo del sistema de numeración empleado.
Números de Skewes: El primero es aproximadamente $10^{10^{10^{34}}}$ , y el segundo $10^{10^{10^{1000}}}$
Mayorgas: El número es aproximadamente $10^{10^{10^{10^{1000}}}}$

La cantidad total impresa en todo el mundo es aproximadamente 1,6·10¹⁸ bits, así el contenido puede representarse mediante un número que es aproximadamente $2^{1.6 \times 10^{18}}\approx 10^{4.8 \times 10^{17}}$ .

Para una torre de potencias, los números más relevantes son la base y los últimos números superiores. Comparándolos con un googolplex:

$10^{\,\!100^{10}} = 10^{10^{20}}$
$100^{\,\!10^{10}} \approx 10^{10^{10.3}}$

Además:

$1.1^{\,\!1.1^{1.1^{1000}}} \approx 10^{10^{1.02*10^{40}}}$
$1000^{\,\!1000^{1000}}\approx 10^{10^{3000.48}}$

El primer número es mucho mayor que el segundo, debido a la mayor altura de la torre de potencias, y a pesar del pequeño número 1,1 (si dicho número fuera 1 o menos, el resultado cambiaría notablemente). Comparando la magnitud de cada exponente sucesivo en el último número con $10^{10^{10}}$ , encontramos una diferencia en el resultado final debida al último exponente. En el número 3000,48, el exponente final, la magnitud global del número viene dada por el segundo exponente, 1000. El primer exponente únicamente añade un factor 3 a la mezcla (1000 × 3). El número base sólo da un factor de 1,00016 en el exponente final (1000 × 3 × 1,00016 = 3000,48). Esto da una idea de la importancia de último exponente en el valor final.