Número primo de Fermat

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Un número primo de Fermat, nombrado en honor a Pierre de Fermat, quien fue el primero que estudió estos números, es un número primo de la forma:

$F_{n} = 2^{2^n} + 1$

donde n es un número natural. Sólo se conocen cinco primos de Fermat, que son 3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) y 65537 (n=4).

Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma

$F_{n} = 2^{2^n} + 1$

con n natural eran números primos, pero Leonhard Euler probó que no era así en 1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:

$F_{5} = 2^{2^5} + 1 = 2^{32} + 1 = 4294967297 = 641 \cdot 6700417 \;$

4294967297 es el número más pequeño que siendo número de Fermat , no es primo.

Con ello, todos los números que tienen la forma de los primos de Fermat, aunque no sean primos, reciben el nombre de números de Fermat. Son números de Fermat todos los de la forma 2²ⁿ+1, con n natural.

Existen dos problemas abiertos sobre estos números:

¿Sólo hay cinco números primos de Fermat (3, 5, 17, 257 y 65537)?
¿Existen infinitos primos de Fermat?

[editar] Propiedades de los números de Fermat

Un número de Fermat es igual al producto de todos los anteriores más 2. Esto se puede demostrar por inducción como sigue:
- Si n=1, es verdad: F₁ = F₀ + 2 (5 = 3 + 2).
- Si se cumple para k igual a n-1, se cumple para n:

$F_0 \cdot F_1 \cdot \ldots \cdot F_{n-2} \cdot F_{n-1} + 2 = \left ( F_{n-1}-2 \right ) \cdot F_{n-1} + 2 \,\!$

$= \left ( 2^{2^{n-1}}+1-2 \right ) \cdot \left ( 2^{2^{n-1}}+1 \right ) + 2 \,\!$

$= \left ( 2^{2^{n-1}}-1 \right ) \cdot \left ( 2^{2^{n-1}}+1 \right ) + 2 \,\!$

$= \left ( 2^{2^{n-1}} \right ) ^2 -1 + 2 = 2^{2^{n}} +1 = F_n \,\!$

Corolario de la propiedad anterior: Ningún número de Fermat puede ser la suma de dos números primos. Como todos los números de Fermat son impares, uno de los sumandos debe ser 2. Entonces, el otro tendrá que ser, o bien 1 (en el caso de F₀ = 3) o bien el producto de todos los anteriores... pero ninguno de éstos es primo.
Dos números de Fermat distintos siempre son primos entre sí (es decir, no tienen ningún factor común). Se sabe que F_n = F₀·F₁·...·F_n-1 + 2. Como todos los números de Fermat son impares (y por tanto 2 no puede ser un factor común), se concluye que F_n no es divisible por ninguno de los factores de los anteriores números de Fermat. Un corolario de esto es una demostración de la infinitud de los números primos (ver artículo).
Carl Friedrich Gauss demostró que existe una relación entre la construcción de polígonos regulares con regla y compás y los números primos de Fermat: un polígono regular de n lados puede ser construido con regla y compás si y sólo si n es, o bien una potencia de 2, o bien el producto de una potencia de 2 y primos de Fermat distintos entre sí.
Todo número compuesto de Fermat F_n = 2²n + 1 se puede descomponer en factores primos de la forma k·2ⁿ⁺² + 1, con k entero positivo.