Ley de Titius-Bode
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La ley de Titius-Bode a veces denominada sólo ley de Bode relaciona la distancia de un planeta al Sol con el número de orden del planeta mediante una regla simple. Matemáticamente se trata de una sucesión que facilita la distancia de un planeta al Sol.
La ley original era
donde n = 0, 3, 6, 12, 24, 48..., con cada valor de n dos veces el valor anterior y a representa el semieje mayor de la órbita. Es decir formemos la sucesión: 0, 3, 6, 12, 24, 48, 96..., Ahora añadamos 4 a la sucesión anterior: 4, 7, 10, 16, 28, 52, 100,... Dividamos por 10 la sucesión anterior: 0.4, 0.7, 1, 1.6, 2.8, 5.2, 10.0, ...
En aquella época sólo se conocían los planetas clásicos Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno que distan del Sol: 0.38, 0.72, 1, 1.52, 5.2, 9.54
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[editar] Descubrimiento e importancia histórica
La ley la descubrió en 1766 Johann Daniel Titius y se la atribuyó en 1772 el director del Observatorio de Berlín, Johann Elert Bode, de ahí el nombre. Sin embargo, algunos dicen que el primero en proponerla fue Christian Wolff en 1724.
El descubrimiento de Urano por William Herschel en 1781 que estaba a 19,18 UA no hizo más que confirmar la ley publicada sólo tres años antes y llevó a que en el cuarto lugar a 2,8 U.A. faltaba un planeta. En el congreso astronómico que tuvo lugar en Gotha, Alemania, en 1796, el francés Joseph Lalande recomendó su búsqueda. Entre cinco astrónomos se repartieron el zodíaco en la búsqueda del quinto planeta y finalmente el 1 de enero de 1801, en el Observatorio de Palermo el monje Giuseppe Piazzi que no pertenecía a la comisión de búsqueda descubrió Ceres el primero de los asteroides. El día 3 de enero el cuerpo se había desplazado un tercio de luna hacia el oeste. Hasta el 24 no publicó su descubrimiento creyendo que era un cometa. Carl Friedrich Gauss que llegó a ser un gran matemático inventó ex profeso para Ceres un procedimiento de cálculo de la órbita con tal de aprovechar los pocos datos de la órbita conseguidos por Piazzi. Calculada su órbita resultó un cuerpo que orbitaba entre Marte y Júpiter es decir el cuerpo que faltaba según la ley de Bode.
La ley de Bode, aun pudiendo ser sólo una curiosidad matemática, tuvo una gran importancia en el desarrollo de la Astronomía de finales del siglo XVIII principios del siglo XIX.
[editar] Formulaciones modernas de la ley de Bode
La formulación moderna es que la distancia de un planeta al Sol en UAs es:
donde k =0,1,2,4,8,16,32,64,128 (0 seguidos por las potencias de 2)
Para los planetas exteriores, el primer término es despreciable, y la interpretación es que cada planeta está aproximadamente dos veces como lejos del sol como el último. Es decir las distancias de los planetas están en progresión geométrica.
La distancia de un planeta al Sol es dos veces la distancia al Sol del anterior.
Las distancias de los planetas calculados por la ley de Bode comparadas con las reales son:
Planeta | k | Distancia ley T-B | Distancia real |
---|---|---|---|
Mercurio | 0 | 0,4 | 0,39 |
Venus | 1 | 0,7 | 0,72 |
Tierra | 2 | 1,0 | 1,00 |
Marte | 4 | 1,6 | 1,52 |
Cinturón de Asteroides1 | 8 | 2,8 | 2,77 |
Júpiter | 16 | 5,2 | 5,20 |
Saturno | 32 | 10,0 | 9,54 |
Urano | 64 | 19,6 | 19,2 |
Neptuno | n/a2 | 30,06 | |
Plutón | 128 | 38,8 | 39,44 |
1 El Cinturón de Asteroides tiene que ser considerado un planeta para cubrir el hueco de k=8, el número tomado para la distancia al Sol (2,77 UA) es realmente el del asteroide más grande del Cinturón Ceres que fue considerado al principio también un planeta.
2 Neptuno viola la ley cayendo a medio camino entre el k=64 y k=128. Sin embargo, el estatuto de Plutón como planeta está bajo discusión, ahora se piensa que pertenece al Cinturón de Kuiper donde ni siquiera es el planeta más grande.
[editar] Otra forma de expresar la ley de Bode
- con n=2,3,4....
Para el caso n=1 a=0.4
Despreciando el 0.4 y colocando unos valores a ajustar:
Tomando logaritmos:
y operando:
Es decir tomando logaritmos de las distancias podemos ajustar por mínimos cuadrados a una recta.
Para los planetas exteriores, si los logaritmos de las distancias van en progresión aritmética es porque las distancias van el progresión geométrica. Bode pensaba que la razón de la P.G. era 2 pero cuando se hace el ajuste resulta ser solamente 1,71.
El resultado es, considerando a Plutón y tomando como unidad de distancia el Km.:
- con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
y una correlación r=0,9971.
Para expresarlo en logaritmos neperianos hay que multiplicar por 1/M=2,30258 resulta:
- con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
así que las distancias:
- con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
Si usamos la unidad astronómica
- con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
El cambio en la unidad no cambía la pendiente ni la correlación, pero la ordenada en el origen queda disminuida en:
así 7,5119-8,1749=-0,6630
Así:
- con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
por lo que:
- con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
así que:
- con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
y comparado ley de Bode clásica:
- con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
Queda claro que el error de Bode era pensar que cada planeta está al doble distancia cuando en realidad es sólo de 1,71 veces.
Podemos comparar ambas leyes con los valores reales:
Denominación | n | a (U.A.) | a Bode | a (log) |
Mercurio | 1 | 0,387 | 0,4 | 0,372 |
Venus | 2 | 0,723 | 0,7 | 0,636 |
Tierra | 3 | 1,000 | 1 | 1,087 |
Marte | 4 | 1,523 | 1,6 | 1,859 |
Asteroides1 | 5 | 2,8 | 3,179 | |
Júpiter | 6 | 5,203 | 5,2 | 5,437 |
Saturno | 7 | 9,539 | 10 | 9,299 |
Urano | 8 | 19,184 | 19,6 | 15,903 |
Neptuno | 9 | 30,060 | n/a2 | 27,198 |
Plutón | 10 | 39,759 | 38,8 | 46,514 |
Esta nueva manera de ver las cosas tiene varias ventajas:
- El primer término de la sucesión (Mercurio) siempre era especial, ahora es uno más.
- El término 0,4 se coloca para ajustar los planetas interiores, aquí es inexistente.
- Para Neptuno no se cumplía. Ahora sí.
[editar] El problema de Plutón
Se puede considerar que Plutón no es un planeta, ya que pertenece al Cinturón de Kuiper. Es un plutino es decir pertenece a los asteroides transneptunianos que están en resonancia 3/2 con Neptuno, lo que significa que cada 3 vueltas de Neptuno al Sol el asteroide da 2 vueltas. Ello supone un periodo para el asteroide T=3/2 * 164,7900 años=247,185 años. Por la tercera ley de Kepler a= T2/3=39,3865 U.A. y una relación de distancias: 39,386/30,06=1,31 por debajo de la media.
Si consideramos que Plutón no es planeta y lo quitamos del ajuste y usamos la unidad astronómica:
- con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9
así que:
- con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9
[editar] Explicación teórica
No hay ninguna explicación teórica sólida de la ley de Titius-Bode, y no esta reconocido si ésta es simplemente una coincidencia numérica o una regla más fundamental de la mecánica celeste.
Cuando originalmente se publicó, la ley era satisfecha por todos los planetas conocidos- desde Mercurio hasta Saturno-con un hueco entre el cuarto y quinto planeta. Se consideró interesante, pero de ninguna gran importancia hasta el descubrimiento de Urano en 1781 qué encajó pulcramente en la serie. Basado en su nueva credibilidad, Bode inició la búsqueda del quinto planeta. Ceres, el más grande de los asteroides en el Cinturón de Asteroides, se encontró a la posición del quinto planeta. La ley de Bode se aceptó entonces ampliamente hasta que se descubrió en 1846 Neptuno que no cumplía la ley. Con el ajuste logarítmico a una recta, queda salvado este escollo y se puede ver que también es aplicable a los satélites del Sistema Solar. Por lo que está claro que tiene que ver con el proceso de formación de los sistema planetarios.
Actualmente la explicación más probablemente es que la resonancia orbital de los planetas crea regiones alrededor del Sol sin materia o que la acreción de los planetas al formarle haya limpiado la materia de una zona alrededor de donde se ha formado. Los resultados de la simulación de formación planetaria parecen apoyar la idea de que la ley Titius-Bode es una consecuencia natural de formación planetaria, según las teorías actuales en esta área.
[editar] Aplicación a otros Sistemas de satélites
Hay sólo un limitado número de sistemas en que la ley de Bode puede probarse. Júpiter, Saturno y Urano tienen varias lunas grandes que aparecen haber sido creados por un proceso similar a lo que creó los planetas. En la aplicación a los satélites debemos tener presente que deben descartarse todos aquellos que no han sido formados en las proximidades del planeta sino capturados por la gravedad de este. Estos cuerpos se caracterizan por ser pequeños, girar en un plano muy distinto de los satélites grandes o incluso tener un movimiento retrogrado.
[editar] Aplicación a los satélites de Júpiter
Los cuatro satélites galileanos de Júpiter más el satélite interno más grande Amaltea cumplen perfectamente la ley de Bode:
- con n=1,2,3,4,5
y una correlación r=0,9925. Amaltea hay que considerarlo porque a pesar de tener sólo 200 km. gira en la órbita de los satélites galileanos.
Resulta que
En radios del planeta:
Observemos que de un planeta al siguiente en el Sistema Solar o en los Satélites de Júpiter el valor es muy similar.
Para quien tenga dudas podemos al igual que Bode crear una sucesión:
0,3,6,12,24 formada por el 0 y una progresión geométrica con primer término 3 y razón 2.
Ahora añadimos 3 a cada uno de los términos:
3,6,9,15,27
Las distancias de los cinco satélites a Júpiter en radios del planeta es:
2.5, 5.9, 9.4, 15.0, 26.3 el ajuste es perfecto.
Si consideramos sólo los 4 satélites galileanos el ajuste es todavía más perfecto:
- con n=1,2,3,4
y una correlación r=0,99873.
En radios del planeta:
[editar] Aplicación a los satélites de Urano
Las lunas grandes de Urano tienen una adaptación a la ley de Bode magnífica:
- con n=1,2,3,4,5
y una correlación r=0,9943. Es decir:
- en Km.
En radios del planeta:
Mientras que los primeros satélites están a unos 3 radios del planeta, Mercurio está a 83,24 radios solares. No obstante el crecimiento tiene una tasa bastante similar.
[editar] Aplicación a los satélites de Saturno
La aplicación a las lunas de Saturno presenta más problemas. Lo que se ha hecho es ajustar a los satélites grandes más internos: Jano, Mimas, Encelado, Tetis, Dione y Rea con n=1 hasta 6. Ahora ajustamos los demás hasta que caigan sobre la recta. Hace falta dejar los huecos 7 y 8 hasta llegar a Titán e Hiperión que serían n=9 y 10 respectivamente. Japeto sería el n=13 y Febe el n=18.
Con ello el ajuste sería:
- con n=1,2,3,4,5,6,9,10,13,18
y una correlación de 0,9995.
Es decir:
- en Km.
En radios del planeta:
[editar] Aplicación a planetas extrasolares
Los recientes descubrimientos de sistemas planetarios extrasolares no proporcionan bastantes datos todavía para probar si la regla se aplica a otros sistemas solares. No obstante la aplicación a los satélites del Sistema Solar hace pensar que si será aplicable cuando la precisión de las observaciones permita descubrir planetas extrasolares tipo Tierra.
[editar] Enlaces externos
- La ley inexplicable Excelente artículo, fácil de entender, acerca de la Ley de Titius-Bode.
- La ley de Bode como ajuste lineal del logaritmo de la distancia y su ampliación a los satélites del Sistema Solar.
- The Titius-Bode Number Sequence Deciphered Artículo en inglés donde se ofrece una visión de la Ley de Bode exclusivamente del Sistema Solar pero se cambia el punto de vista geocéntrico (Tierra=1) por una unidad que es la distancia Sol-Mercurio=1. Luego se centra en calcular la relación de distancias de un planeta a su anterior llegando a la conclusión de que ésta relación es casi constante y por tanto explicando que las distancias forman una progresión geométrica.