Ley de Stefan-Boltzmann

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La ley de Stefan-Boltzmann establece que toda materia que se encuentra a una temperatura finita emite una radiación térmica. Esta radiación se origina a partir de la energía térmica de la materia limitada por la superficie, la velocidad a la que libera energía por unidad de área (W/m2) se denomina la potencia emisiva superficial E. Hay un límite superior para la potencia emisiva, que es establecida por esta ley:

$Eb = \sigma \cdot T_e^4 \,$

Donde T_e es la temperatura efectiva o sea la temperatura absoluta de la superficie y sigma es la constante de Stefan Boltzmann: $\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} \frac {W}{m^2 \cdot K^4}$ .
Dicha superficie se llama radiador ideal o cuerpo negro.

Tabla de contenidos

1 La ley de Stefan-Boltzmann
2 Ejemplos
3 Intercambios radiativos entre cuerpos negros

[editar] La ley de Stefan-Boltzmann

Esta ley no es más que la integración de la distribución de Planck a lo largo de todas las longitudes de onda:

$Eb = \int_0^\infty {C_1 \over \lambda^5 \cdot (e^{C_2 \over \lambda \cdot T}-1)}d\lambda \,$

donde las constantes valen en el Sistema Internacional de Unidades o sistema MKS:

$C_1=2 \pi h c^2=3,742 \cdot 10^{-16} {W \cdot m^2} \,$

$C_2={h c \over k}=1,439 \cdot 10^{-2} {m \cdot K}$

Puede demostrarse haciendo la integral que:

$Eb = \int_0^\infty {C_1 \over \lambda^5 \cdot (e^{C_2 \over \lambda \cdot T}-1)}d\lambda=\frac{\pi^4\cdot c_1}{15\cdot c_2 ^4} \cdot T^4 \,$

Por lo que la constante de Stefan Boltzmann depende de otras constantes fundamentales en la forma:

$\sigma=\frac{2\pi^5 k^4}{15c^2h^3}= 5.6704 \cdot 10^{-8} \frac {W}{m^2 \cdot K^4}$

La potencia emisiva superficial de una superficie real es menor que el de un cuerpo negro a la misma temperatura y está dada por:

$E = \epsilon \cdot \sigma \cdot T_e^4 \,$

Donde epsilon es una propiedad radiativa de la superficie denominada emisividad. Con valores en el rango 0<=ε<=1, esta propiedad es la relación entre la radiación emitida por una superficie real y la emitida por el cuerpo negro a la misma temperatura. Esto depende marcadamente del material de la superficie y de su acabado, de la longitud de onda, y de la temperatura de la superficie.

[editar] Ejemplos

[editar] Primera determinación de la temperatura del Sol

Utilizando su ley Stefan determinó la temperatura de la superficie del Sol. Tomó los datos de Charles Soret (1854–1904) que determinó que la densidad del flujo de energía del Sol es 29 veces mayor que la densidad del flujo de energía de una fina placa de metal caliente. Puso la placa de metal a una distancia del dispositivo de la medición que permitía verla con el mismo ángulo que se vería el Sol desde la Tierra. Soret estimó la temperatura del placa era aproximadamente 1900 °C a 2000 °C. Stefan pensó que el flujo de energía del Sol es absorbido en parte por la atmósfera terrestre, y tomó para el flujo de energía del Sol un valor 3/2 veces mayor, a saber $29 \cdot \frac{3}{2}= 43.5$ .

Las medidas precisas de la absorción atmosférica no se realizaron hasta 1888 y 1904. La temperatura que Stefan obtuvo era un valor intermedio de los anteriores, 1950 °C ( 2223 K). Como 2,57 ⁴ = 43,5, la ley de Stephan nos dice que la temperatura del Sol es 2,57 veces mayor que la temperatura de un placa de metal, así que Stefan consiguió un valor para la temperatura de la superficie del Sol de 5713 K (el valor moderno es 5780 K). Éste fue el primer valor sensato por la temperatura del Sol. Antes de esto, se obtuvieron valores tan pequeños como 1800 °C o tan altos como 13.000.000 °C. El valor de 1800 °C fue hallado por Claude Servais Mathias Pouillet (1790-1868) en 1838. Si nosotros concentramos la luz del Sol con una lente, podemos calentar un sólido hasta los 1800 °C.

[editar] Las temperaturas y radios de las estrellas

La temperatura de las estrellas puede obtenerse suponiendo que emiten radiación como un cuerpo negro de manera similar que nuestro Sol.

La Luminosidad L de la estrella vale:

$L = 4 \pi R^2 \sigma T^4 \,$

donde σ es la constante de Stefan-Boltzmann , R es el radio estelar y T es la temperatura de la estrella.

Esta misma fórmula puede usarse para computar el radio aproximado de una estrella de la secuencia principal y por tanto similar al Sol:

$\frac{R}{R_\bigodot} \approx \left ( \frac{T_\bigodot}{T} \right )^{2} \cdot \sqrt{\frac{L}{L_\bigodot}}$

donde $R_\bigodot$ , es el radio solar.

Con la ley de Stefan-Boltzmann, los astrónomos puede inferir los radios de las estrellas fácilmente. La ley también se usa en la termodinámica de un agujero negro en la llamada radiación de Hawking.

[editar] La temperatura de la Tierra

Ver Balance radiativo terrestre

Podemos calcular la temperatura de la Tierra $T_e \,$ igualando la energía recibida del Sol y la energía emitida por la Tierra. El Sol emite una energía por unidad de tiempo y área que es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura $T_s \,$ . A la distancia de la Tierra a ₀ (unidad astronómica), esa potencia ha disminuido en la relación entre la superficie del Sol y la superficie de una esfera de radio a ₀ . Además el disco de la Tierra intercepta esa radiación pero debido a la rápida rotación de la Tierra es toda la superficie de la Tierra la que emite la radiación a una temperatura $T_e \,$ con lo que dicha potencia queda disminuida en un factor 4.

Por ello:

$(\frac {T_e}{T_s})^4=\frac {1}{4} \cdot (\frac {r_s}{a_0})^2$

donde $r_s \,$ es el radio del Sol. Por ello

$T_e \, = T_s \sqrt{r_S\over 2 a_0 } = 5780 \; {\rm K} \cdot \sqrt{696 \times 10^{6} \; {\rm m} \over 2 \times 149.59787066 \times 10^{9} \,{\rm m} }= 278 \, {\rm K}$

Resulta una temperatura de 5°C. La temperatura real es de 15 °C.

Resumiendo: La distancia del Sol a la Tierra es 215 veces el radio del Sol, reduciendo la energía por el metro cuadrado por un factor que es el cuadrado de esa cantidad, es decir 46.225. Teniendo en cuenta que la sección que interfiere la energía es 1/4 de su área de la superficie, vemos que disminuye en 184.900 veces. La relación entre la temperatura del Sol y la Tierra es por tanto 20,7 ya que 20,7 ⁴ es 184.900 veces.

Esto muestra aproximadamente por qué T ~ 278 K es la temperatura de nuestro mundo. El cambio más ligero de la distancia del Sol podría cambiar la temperatura de la media Tierra.

En el cálculo anterior hay dos defectos. Parte de la energía solar es reflejada por la Tierra que es lo que se denomina albedo y esto disminuye la temperatura de la Tierra hecho por el cálculo anterior hasta -18 °C y parte de la energía radiada por la Tierra que tiene una longitud larga entre 3 y 80 micras es absorbido por los gases de efecto invernadero calentando la atmósfera hasta la temperatura actual. El efecto invernadero es en principio bueno, no lo es el efecto invernadero causado por el hombre que nos lleva a un calentamiento global de efectos imprevisibles.

Para calcular la constante solar o energía emitida por el Sol por unidad de tiempo y área a la distancia de la Tierra basta con dividir esta energía por 46.225 resulta:

$K=\sigma \cdot T_s^4 \cdot (\frac {r_s}{a_0})^2=1366 \frac{W}{m^2}$

[editar] Intercambios radiativos entre cuerpos negros

El flujo de calor se obtiene de la siguiente manera:

$q = A \cdot E = A \cdot \epsilon \cdot \sigma \cdot T_e^4 \,$

Para el cálculo de intercambios radiativos de dos cuerpos negros, hay que afectar a la expresión anterior por el llamado factor de vista F, el cual indica que fracción de la energía total emitida por una superficie es interceptada (absorbida, reflejada o transmitida) por otra superficie, es un concepto puramente geométrico. La expresión final es de la forma:

$q_{1-2} =A_1 \cdot F_{12} \cdot \sigma \cdot T_1^4 \,$

$q_{2-1} =A_2 \cdot F_{21} \cdot \sigma \cdot T_2^4 \,$

$q_{12}=q_{1-2}-q_{2-1} = A_1 \cdot F_{12} \cdot \sigma \cdot (T_1^4-T_2^4) \,$

Hay que tener en cuenta que se cumple $A_1 \cdot F_{12}=A_2 \cdot F_{21}$ .

Para superficies reales (con emisividad menor a 1) hay que tener en cuenta que además de emitir, la superficie refleja energía, para ello se define J como la radiosidad, que es la suma de la energía emitida y la reflejada.

$q_{1-2} =A_1 \cdot F_{12} \cdot J_1 \,$

$q_{2-1} =A_2 \cdot F_{21} \cdot J_2 \ \,$

$q_{12}=q_{1-2}-q_{2-1} = A_1 \cdot F_{12} \cdot (J_1-J_2) \,$

En el caso particular de un cuerpo negro se cumple que $J = E$ .

Ejemplo:

Para una cavidad cerrada compuesta por dos superficies reales, el intercambio radiativo es:

$q_{12}={{\sigma \cdot (T_1^4-T_2^4)} \over {1-\epsilon_1 \over {\epsilon_1 \cdot A_1}}+{1 \over A_1 \cdot F_{12}}+{1-\epsilon_2 \over \epsilon_2 \cdot A_2}} \,$