Derivada direccional

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En el Análisis matemático, la derivada direccional de una función multivariable sobre un vector dado, representa la tasa de cambio (pendiente) de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectores paralelos a los ejes.

[editar] Definición

La derivada direccional de una función $f(\vec{x}) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ sobre un vector $\vec{v} = (v_1, \ldots, v_n)$ es la función definida por este límite:

$D_{\vec{v}}{f} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\vec{x} + h\vec{v}) - f(\vec{x})}{h}}.$

Si la función es diferenciable, puede ser escrita en término de su gradiente $\nabla(f)$

$D_{\vec{v}}{f} = \nabla(f) \cdot \vec{v}$

donde $\cdot$ denota el producto escalar.

[editar] Demostración

El caso más sencillo de la derivada direccional es el espacio tridimensional. Supongase que se tiene una ecuación $z = f \left ( x,y \right )$ , entonces el diferencial de z estaría dado por $dz = \frac { \delta\ f }{ \delta\ x } \left ( x,y \right ) dx + \frac { \delta\ f }{ \delta\ y} \left ( x,y \right ) dy$ .

Ahora se definirá un vector unitario $\vec u$ que ira en la dirección sobre la que se quiere calcular la derivada.

Este vector unitario definirá un plano, el cual cortara a la ecuación $z = f \left ( x,y \right )$ y formara una curva de corte. Al usar elementos diferenciales para calcular la pendiente de la curva (en términos de dz y dr) se obtiene que la pendiente es igual a $\frac { dz }{ dr }$ , que es la derivada direccional $D_{ \vec u } f \left ( x,y \right )$ (Derivada direccional de f en la dirección de $\vec u$ ). A su vez dr se puede relacionar con dx y dy de la siguiente manera: $cos \theta\ = \frac { dx } { dr }$ y $sen \theta\ = \frac { dy } { dr }$ . Con lo que al sustituir los valores en la derivada direccional se tiene lo siguiente:

$D_{ \vec u } f \left ( x,y \right ) = \frac { dz } { dr } = \frac { \delta\ f }{ \delta\ x } \left ( x,y \right ) \frac { dx } { dr } + \frac { \delta\ f }{ \delta\ y} \left ( x,y \right ) \frac { dy } { dr } = \frac { \delta\ f }{ \delta\ x } \left ( x,y \right ) cos \theta\ + \frac { \delta\ f }{ \delta\ y} \left ( x,y \right ) sen \theta\$

Al Factorizar como un producto punto se obtiene lo siguiente:

$D_{ \vec u } f \left ( x,y \right ) = \left [ \frac { \delta\ f }{ \delta\ x } \left ( x,y \right ) i + \frac { \delta\ f }{ \delta\ y} \left ( x,y \right ) j \right ] \cdot \left [ cos \theta\ i + sen j \theta\ \right ]$

Donde a $\frac { \delta\ f }{ \delta\ x } \left ( x,y \right ) i + \frac { \delta\ f }{ \delta\ y} \left ( x,y \right ) j$ se le conoce como $\nabla$ (gradiente) y $cos \theta\ i + sen j \theta\$ se conoce como $\vec u$ Dando la derivada direccional en su forma reducida que es: