Vikipedio:Projekto matematiko/Rotacia grupo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Rotacia grupo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En mekaniko kaj geometrio, la rotacia grupo estas la aro de ĉiuj (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) pri la fonto de 3-dimensia Eŭklida spaco, R³. Per difino, turnado pri la fonto estas lineara transformo (tiu, ke, kiu) konfitas la longo de (vektoroj, vektoras), kaj ankaŭ konfitas la orientiĝo, aŭ _handedness_, de spaco. Transformo (tiu, ke, kiu) konfitas longo sed dorsflanka orientiĝo estas iam (nomita, vokis) nepropra turnado.

La komponaĵo de du (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) estas turnado, kaj ĉiu turnado havas unika inverso kiu estas denove turnado. Ĉi tiuj propraĵoj doni la aro de ĉiuj (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) la matematika strukturo de grupo. Ankaŭ, la rotacia grupo havas natura (dukto (matematiko), dukto) strukturo por kiu la grupo (operacioj, operacias) estas glata, tiel ke ĝi estas reale Grupo de Lie. La rotacia grupo estas ofte signifita So(3) por kaŭzoj (tiu, ke, kiu) estas eksplikita pli sube.

Enhavo

1 Propraĵoj
2 Perpendikularaj matricoj
3 Rotacia akso
4 Topologio
5 Prezentoj de (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas)
6 (Ĝeneraligoj, Ĝeneraligas)
7 Vidi ankaŭ

[redaktu] Propraĵoj

Ekster (justa, ĵus) konfitanta longo, (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) ankaŭ konfiti la anguloj inter (vektoroj, vektoras). Ĉi tiu sekvas de la fakto (tiu, ke, kiu) la normo ena (produkto, produto) inter du (vektoroj, vektoras) povas esti skribita pure en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de longo:

$\langle x, y \rangle = \frac{1}{2}\left(\|x+y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2\right).$

De ĉi tie, (ĉiu, iu) longo-konfitanta transformo en R³ estos konfiti la ena (produkto, produto), kaj pro tiaj anguloj kiel bone. Ĝi estas rapida kontroli (tiu, ke, kiu) ĉiu turnado (mapoj, mapas) ortnormala bazo de R³ al alia ortnormala bazo.

Ĝi devus esti (tononomita, notita) (tiu, ke, kiu) (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) estas ofte difinita kiel linearaj transformoj (tiu, ke, kiu) konfiti la ena (produkto, produto) sur R³. Per la pli supre argumento, ĉi tiu estas ekvivalento al postulantaj ilin al konfiti longo.

Alia grava propraĵo de la rotacia grupo estas (tiu, ke, kiu) ĝi estas _nonabelian_. Tio estas, la (mendi, ordo) en kiu (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) estas (verkita, komponita) (konstruas, faras) diferenco. Ekzemple, kvartalo turni la pozitiva x-akso sekvis per kvartalo turni la pozitiva y-akso estas malsama turnado ol la unu ricevita per unua turnanta ĉirkaŭ y kaj tiam x.

[redaktu] Perpendikularaj matricoj

Ŝati (ĉiu, iu) lineara transformo, turnado povas ĉiam esti (prezentita, prezentis) per matrico. Estu R esti donita turnado. Kun respekto al la norma bazo $(e 1, e 2, e 3)$ de R³ la kolumnoj de R estas donita per $(R e 1, R e 2, R e 3)$ . Ekde la norma bazo estas ortnormala, la kolumnoj de R (formo, formi) alia ortnormala bazo. Ĉi tiu _orthonormality_ kondiĉo povas esti esprimita en la (formo, formi)

$R^TR = I\,$

kie R^T signifas la transponi de R kaj Mi estas la 3 × 3 identa matrico. Matricoj por kiu ĉi tiu propraĵo tenas estas (nomita, vokis) perpendikularaj matricoj. La grupo de ĉiuj 3 × 3 perpendikularaj matricoj estas signifita O(3).

Aldone al konfitanta longo, (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) devas ankaŭ konfiti orientiĝo. Matrico estos konfiti aŭ dorsflanka orientiĝo laŭ ĉu la determinanto de la matrico estas pozitiva aŭ negativa. Por perpendikulara matrico R, (tononomo, noto, noti) (tiu, ke, kiu) _det_ R^T = _det_ R (implicas, enhavas) (_det_ R)² = 1 tiel ke _det_ R = ±1. La subgrupo de perpendikularaj matricoj kun determinanto +1 estas (nomita, vokis) la speciala perpendikulara grupo, signifis So(3).

Tial ĉiu turnado povas esti (prezentita, prezentis) unike per perpendikulara matrica unuhava determinanto. Ankaŭ, ekde komponaĵo de (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) korespondas al matrica multipliko, la rotacia grupo estas izomorfia al la speciala perpendikulara grupa So(3).

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) nepropraj turnadoj esti konforma laŭ perpendikularaj matricoj kun determinanto −1. Nepropraj turnadoj ne ariĝi ekde la (produkto, produto) de du nepropraj turnadoj estas pozitiva turnado.

[redaktu] Rotacia akso

Ĉiu turnado en 3 (dimensioj, dimensias) _fixes_ unika 1-dimensia lineara subspaco de R³ kiu estas (nomita, vokis) la rotacia akso (ĉi tiu estas Eŭlera rotacia teoremo). Ĉiu turnado estos (ago, agi, operacii, akto) ŝati normala 2-dimensia turnado en la ebeno perpendikulara al ĉi tiu akso. Ekde ĉiu 2-dimensia turnado povas esti (prezentita, prezentis) per angulo φ, ajna 3-dimensia turnado povas esti precizigita per rotacia akso kaj ankaŭ angulo de turnado pri ĉi tiu akso. (Teknike, unu (bezonas, bezonoj) al precizigi orientiĝo por la akso kaj ĉu la turnado estas prenita al esti laŭhorloĝnadla aŭ kontraŭhorloĝnadla kun respekto al ĉi tiu orientiĝo).

En (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de perpendikularaj matricoj, la (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) pri la norma koordinato (hakiloj, hakas) tra angulo φ estas donita per

$R_x(\phi) = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\phi & -\sin\phi \\ 0 & \sin\phi & \cos\phi\end{bmatrix}$

$R_y(\phi) = \begin{bmatrix}\cos\phi & 0 & \sin\phi \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\phi & 0 & \cos\phi\end{bmatrix}$

$R_z(\phi) = \begin{bmatrix}\cos\phi & -\sin\phi & 0 \\ \sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

Donita unuobla vektoro n en R³ kaj angulo φ, estu R(φ, n) prezenti kontraŭhorloĝnadla turnado pri la akso tra n (kun orientiĝo difinita per n). Tiam

R(0, n) estas la identa transformo por (ĉiu, iu) n
R(φ, n) = R(−&φ;, −n)
R(π + φ, n) = R(π − φ, −n)

Uzanta ĉi tiuj propraĵoj unu povas montri (tiu, ke, kiu) (ĉiu, iu) turnado povas esti (prezentita, prezentis) per unika angulo φ en la limigo 0 ≤ φ ≤ π kaj unuobla vektoro n tia (tiu, ke, kiu)

n estas unika se 0 < φ < π
n estas ajna se φ = 0
n estas unika supren al signo se φ = π (tio estas, la (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) R(π, ±n) estas identa)

[redaktu] Topologio

Konsideri la solida pilko en R³ de radiuso π (tio estas, ĉiuj punktoj de R³ de distanco π aŭ malpli de la fonto). Donita la pli supre, por ĉiu punkto en ĉi tiu pilko estas turnado, kun akso tra la punkto kaj turnada angulo egala al la distanco de la punkto de la fonto. La identa turnado korespondas trafe je la centro de la pilko. Turnado tra anguloj inter 0 kaj -π esti konforma laŭ la punkto sur la sama akso kaj distanco de la fonto sed sur la transa flanko de la fonto. La unu cetera (eldoni, eligo) estas (tiu, ke, kiu) la du (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) tra π kaj tra -π estas la sama. (Do, Tiel) ni identigi (aŭ "glui kune") antipodaj punktoj sur la surfaco de la pilko. Post ĉi tiu identigo, ni alveni je topologia spaco homeomorfia al la rotacia grupo.

Ja, la pilko kun antipodaj surfacaj punktoj (identigis, identigita) estas glata (dukto (matematiko), dukto), kaj ĉi tiu (dukto (matematiko), dukto) estas _diffeomorphic_ al la rotacia grupo. Ĝi estas ankaŭ _diffeomorphic_ al la (reala, reela) 3-dimensia projekcia spaco, (do, tiel) la lasta povas ankaŭ servi kiel topologia modelo por la rotacia grupo.

Ĉi tiuj (identigoj, identigas) ilustri (tiu, ke, kiu) So(3) estas koneksa sed ne simple koneksa. Rilate la lasta, en la pilko kun antipodaj surfacaj punktoj (identigis, identigita), konsideri la vojo (kuro, kurante, rulante) de la "norda poluso" (streĉita, rekta) tra la centro suben al la suda poluso. Ĉi tiu estas (fermita, fermis) ciklo, ekde la norda poluso kaj la suda poluso estas (identigita, identigita). Ĉi tiu ciklo ne povas esti _shrunk_ al punkto, ekde ne (materio, afero) kiel vi _deform_ la ciklo, la starti kaj fina punkto devi resti antipoda, alie la ciklo estos "rompi (malfermi, malfermita)". En (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas), ĉi tiu ciklo prezentas kontinua vico de (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) pri la z-akso startanta kaj (randanta, finanta) je la identa turnado (kio estas serio de turnado tra angulo φ kie φ (kuras, rulas) de 0 al 2π).

Surprize, se vi kuri tra la vojo dufoje (tiel ke φ (kuras, rulas) de 0 al 4π), kio estas de norda poluso suben al suda poluso, salti veturigi malantaŭen al la norda poluso kaj kuri denove suben al la suda poluso, vi preni (fermita, fermis) ciklo kiu povas esti _shrunk_ al sola punkto: unua movi la vojoj kontinue al la (pilka, globa, sfera, bula, bala) surfaco, ankoraŭ trakonektanta norda poluso al suda poluso dufoje. La (sekundo, dua) duono de la vojo povas tiam esti spegulita super al la antipoda flanko sen ŝanĝanta la vojo ajn. Nun ni havi ordinara (fermita, fermis) ciklo sur la surfaco de la pilko, trakonektanta la norda poluso al sin laŭ ĉefcirklo. Ĉi tiu cirklo povas esti _shrunk_ al la norda poluso sen (problemoj, problemas).

La sama argumento povas esti (aperita, plenumita) en ĝenerala, kaj ĝi montras (tiu, ke, kiu) la fundamenta grupo de So(3) estas cikla de (mendi, ordo) 2. En fizikaj aplikoj, la ne-banaleco de la fundamenta grupo permesas por la ekzisto de (objektoj, objektas) sciata kiel _spinors_.

La universala kovri de So(3) estas Grupo de Lie (nomita, vokis) Spino(3). La grupa Spino(3) estas _diffeomorphic_ al la unuo 3-sfero S³ kaj povas esti komprenita kiel la grupo de unuo _quaternions_ (kio estas tiuj kun absoluta valoro 1). La ligo inter _quaternions_ kaj (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas), kutime ekspluatita en komputila grafiko, estas eksplikita en _quaternions_ kaj spaca (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas). La rezultanta mapo

S³ → So(3)

estas (surjekcia, surĵeta) homomorfio de (Mensogi, Kuŝi) (grupoj, grupas), kun kerno {±1}.

[redaktu] Prezentoj de (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas)

Ni havi vidita (tiu, ke, kiu) estas (diversaj, diversaĵo) de (vojoj, vojas) al prezenti (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas):

kiel perpendikularaj matricoj kun determinanto 1,
per akso kaj turnada angulo
tra la unuo _quaternions_ (vidi _quaternions_ kaj spaca (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas)) kaj la mapo S³ → So(3).

Alia maniero estas al precizigi ajna turnado per vico de (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) pri iu (fiksis, neŝanĝebligita) (hakiloj, hakas). Vidi:

Eŭleraj anguloj

Vidi abakoj sur So(3) por plui diskuto.

[redaktu] (Ĝeneraligoj, Ĝeneraligas)

La rotacia grupo ĝeneraligas sufiĉe (naive, krude, nature) al n-dimensia Eŭklida spaco, Rⁿ. La grupo de ĉiuj pozitiva kaj nepropraj turnadoj en n (dimensioj, dimensias) estas (nomita, vokis) la perpendikulara grupo, O(n), kaj la subgrupo de pozitiva (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) estas (nomita, vokis) la speciala perpendikulara grupo, So(n).

En speciala relativeco, unu (laboroj, laboras) en 4-dimensia vektora spaco, sciata kiel Spaco de Minkowski iom ol 3-dimensia Eŭklida spaco. Malverŝajne Eŭklida spaco, Spaco de Minkowski havas ena (produkto, produto) kun nedefinita signumo. Tamen, unu povas ankoraŭ difini ĝeneraligita (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) kiu konfiti ĉi tiu ena (produkto, produto). Tia ĝeneraligis (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) estas sciata kiel Lorencaj transformoj kaj la grupo de ĉiuj tia (transformoj, transformas) estas (nomita, vokis) la Lorenca grupo.

La rotacia grupa So(3) povas esti priskribita kiel subgrupo de E⁺(3), la Eŭklida grupo de direkto (izometrioj, izometrias) de R³. Ĉi tiu pli granda grupo estas la grupo de ĉiuj moviĝoj de solido: ĉiu de ĉi tiuj estas kombinaĵo de turnado pri ajna akso kaj traduko laŭ la akso, aŭ meti malsame, kombinaĵo de ero de So(3) kaj ajna traduko.

En ĝenerala, la rotacia grupo de objekto estas la geometria simetria grupo en la grupo de direkto (izometrioj, izometrias); en alia (vortoj, vortas), la komunaĵo de la plena geometria simetria grupo kaj la grupo de direkto (izometrioj, izometrias). Por _chiral_ (objektoj, objektas) ĝi estas la sama kiel la plena geometria simetria grupo.

[redaktu] Vidi ankaŭ

Akraflanka movokvanto
Koordinataj turnadoj
Abakoj sur So(3)
Eŭleraj anguloj
Infinitezima turnado
Lorenca grupo
(Stifto, Kejli, Kejlo) grupo
_Quaternions_ kaj spaca (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas)
Solido

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Rotacia_grupo_ab40.html"

We provide Linux to the World