Vikipedio:Projekto matematiko/Eno (topologio)
El Vikipedio
 |
Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Eno (topologio) (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi. |
En matematiko, la eno de aro S konsistas de ĉiuj punktoj kiu estas intuicie "ne sur la rando de S". Punkto kiu estas en la eno de S estas ena punkto de S. La nocio de eno estas en multaj (vojoj, vojas) duala al la nocio adhera.
Enhavo |
[redaktu] (Difinoj, Difinas)
[redaktu] Ena punkto
Se S estas subaro de Eŭklida spaco, tiam x estas ena punkto de S se tie ekzistas (malfermi, malfermita) pilko centrita je x kiu estas enhavita en S.
Ĉi tiu difino ĝeneraligas al (ĉiu, iu) subaro S de metrika spaco X. Plene esprimita, se X estas metrika spaco kun metriko d, tiam x estas ena punkto de S se tie ekzistas r > 0, tia (tiu, ke, kiu) y estas en S ĉiam la distanco d(x, y) < r.
Ĉi tiu difino ĝeneraligas al topologiaj spacoj per anstataŭiganta "(malfermi, malfermita) pilko" kun "najbaraĵo". Estu S esti subaro de topologia spaco X. Tiam x estas ena punkto de S se tie ekzistas najbaraĵo de x kiu estas enhavita en S. (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) ĉi tiu difino ne dependi sur ĉu najbaraĵoj estas postulita al esti (malfermi, malfermita).
[redaktu] Eno de aro
La eno de aro S estas la aro de ĉiuj enaj punktoj de S. La eno de S estas signifita _int_(S), _Int_(S), aŭ So. La eno de aro havas jenaj propraĵoj.
- _int_(S) estas (malfermi, malfermita) subaro de S.
- _int_(S) estas la unio de ĉiuj malfermitaj aroj enhavis en S.
- _int_(S) estas la plej granda malfermita aro enhavis en S.
- Aro S estas (malfermi, malfermita) se kaj nur se S = _int_(S).
- _int_(_int_(S)) = _int_(S). (_idempotence_)
- Se S estas subaro de T, tiam _int_(S) estas subaro de _int_(T).
- Se A estas malfermita aro, tiam A estas subaro de S se kaj nur se A estas subaro de _int_(S).
Iam la (sekundo, dua) aŭ tria propraĵo pli supre estas prenita kiel la difino de la topologia eno.
(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) ĉi tiuj propraĵoj estas ankaŭ kontentigita se "eno", "subaro", "unio", "enhavis en", "plej granda" kaj "(malfermi, malfermita)" estas (anstataŭigita, anstataŭigis) per "(fermaĵo, adheraĵo)", "superaro", "komunaĵo", "kiu enhavas", "(plej minuskla, plej malgranda)", kaj "(fermita, fermis)". Por pli sur ĉi tiu (materio, afero), vidi ena operatoro pli sube.
[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)
- En (ĉiu, iu) spaco, la eno de la malplena aro estas la malplena aro.
- En (ĉiu, iu) spaco X, _int_(X) estas enhavita en X.
- Se X estas la Eŭklida spaco R de reelaj nombroj, tiam _int_([0, 1]) = (0, 1).
- Se X estas la Eŭklida spaco R, tiam la eno de la aro Q de racionalaj nombroj estas malplena.
- Se X estas la kompleksa ebeno C = R2, tiam _int_({z en C : |z| ≥ 1}) = {z en C : |z| > 1}.
- En (ĉiu, iu) Eŭklida spaco, la eno de (ĉiu, iu) finia aro estas la malplena aro.
Sur la aro de reelaj nombroj unu povas meti alia (topologioj, topologias) iom ol la normo unu.
- Se X = R, kie R havas la limesinfima topologio, tiam _int_([0, 1]) = [0, 1).
- Se unu konsideras sur R la topologio en kiu ĉiu aro estas (malfermi, malfermita), tiam _int_([0, 1]) = [0, 1].
- Se unu konsideras sur R la topologio en kiu la nur malfermitaj aroj estas la malplena aro kaj R sin, tiam _int_([0, 1]) estas la malplena aro.
Ĉi tiuj (ekzemploj, ekzemplas) montri (tiu, ke, kiu) la eno de aro dependas sur la topologio de la suba spaco. La lasta du (ekzemploj, ekzemplas) estas specialaj okazoj de jeno.
- En (ĉiu, iu) diskreta spaco, ekde ĉiu aro estas (malfermi, malfermita), ĉiu aro estas egala al ĝia eno.
- En (ĉiu, iu) _indiscrete_ spaco X, ekde la nur malfermitaj aroj estas la malplena aro kaj X sin, ni havi _int_(X) = X kaj por ĉiu pozitiva subaro A de X, _int_(A) estas la malplena aro.
[redaktu] Ena operatoro
La ena operatoro o estas duala al la fermaĵa operatoro −, en la (senso, senco) (tiu, ke, kiu)
- So = X \ (X \ S)−,
kaj ankaŭ
- S− = X \ (X \ S)o
kie X signifas la topologia spaco enhavanta S, kaj la deklivo signifas la komplemento de aro.
Pro tio, la abstrakta teorio adhera (operatoroj, operatoras) kaj la Fermaĵaj aksiomoj de Kuratowski povas esti facile tradukita enen la lingvo de eno (operatoroj, operatoras), per anstataŭigantaj aroj kun ilia (komplementoj, komplementas).
Vidi ankaŭ: ena algebro.
