Vikipedio:Projekto matematiko/Eksponenta funkcia familio

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Eksponenta funkcia familio
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En probablo kaj statistiko, la eksponenta funkcia familio estas grava klaso de probablodistribuoj. Ĉi tiu estas por matematika _convenience_, pro iliaj nicaj algebraj propraĵoj; kaj ankaŭ por universaleco, kiel ili estas en (senso, senco) tre naturaj distribuoj al konsideri.

Estas ambaŭ diskreta kaj kontinua (membroj, membras) de la eksponenta funkcia familio kiu estas utila kaj grava en teoria aŭ praktika laboro. Ni uzi tutecaj distribuaj funkcioj por ke _encompass_ ambaŭ diskreta kaj kontinuaj distribuoj. Membro de la eksponenta funkcia familio havas _cdf_

$dF(x|\eta) = e^{-\eta^{\top} T(x) - A(\eta)} dH(x)$

Se F estas kontinua distribuo kun denseco, unu povas skribi _dF_(x) = f(x) _dx_. La (intencoj, signifoj, signifas) de la malsama (simboloj, simbolas) en la dekstra flanko estas kiel sekvas:

H(x) estas Lebego-_Stieltjes_ integralilo por la referenco mezuri. Kiam la referenco mezuri estas finia, ĝi povas esti ununormigita kaj H estas reale la tuteca distribua funkcio de probablodistribuo. Se F estas kontinua kun denseco, tiam (do, tiel) estas H, kiu povas tiam esti skribita _dH_(x) = h(x) _dx_. Se F estas diskreta, tiam (do, tiel) estas H (kun la sama subteno).

η estas la natura parametro, kolumna vektoro, tiel ke η^T = (η₁, ..., η_n), ĝia transponi, estas (linio, vico) vektoro. La parametra spaco—kio estas, la aro de (valoroj, valoras) de η por kiu ĉi tiu funkcio estas integralebla—estas bezone konveksa.

T(x) estas la sufiĉa statistiko de la distribuo, kaj ĝi estas kolumna vektoro kies nombro de skalaro (komponantoj, komponantas) estas la sama kiel (tiu, ke, kiu) de η tiel ke η^TT(x) estas skalaro. ((Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la koncepto de sufiĉa statistiko aplikas pli larĝe ol (justa, ĵus) al (membroj, membras) de la eksponenta funkcia familio.)

kaj A(η) estas normaliga faktoro sen kiu F devus ne esti probablodistribuo. La funkcio A estas grava en ĝia posedi (ĝusta, dekstra, rajto), ĉar en (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) en kiu la referenco mezuri _dH_(x) estas probablo, tiam A estas la _cumulant_-generanta funkcio de la probablodistribuo de la sufiĉa statistiko T(X) kiam la distribuo de X estas _dH_(x).

La (termo, membro, flanko, termino) eksponenta funkcia familio estas ankaŭ ofte kutima referi al (ĉiu, iu) aparta (betono, konkreta) (kesto, okazo), kio estas, (ĉiu, iu) parametrigita familio de probablodistribuoj de ĉi tiu (formo, formi), difinita per elekto de H kaj T.

Enhavo

1 (Ekzemploj, Ekzemplas)
2 Maksimuma entropia derivaĵo
3 Rolo en statistiko
- 3.1 Klasika proksumumo: sufiĉeco
- 3.2 Bayes-a proksumumo: konjugitaj distribuoj
4 Statistika konkludo
5 Ekstera (ligoj, ligas)

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

La normala, γ, _chi_-kvadrato, β, Dirichlet-a, Bernoulli-a, dutermo, _multinomial_, _Poisson_, negativa dutermo, kaj geometriaj distribuoj estas ĉiuj eksponentaj funkciaj familioj. La _Weibull_ distribuoj fari ne ampleksi eksponenta funkcia familio, nek fari la Koŝiaj distribuoj.

La duterma distribuo. Supozi H estas la funkcio (tiu, ke, kiu) (ŝtupoj, ŝtupas, paŝas) _upward_ per la duterma koeficiento ${n \choose x}$ je ĉiu x &_isin_; {0, 1, 2, ..., n}. La probabla masa funkcio estas

$f(x)={n \choose x}p^x (1-p)^{n-x}$

por x &_isin_; {0, 1, 2, ..., n}. Estu F esti la tuteca distribua funkcio. Tiam

$dF(x) = p^x (1-p)^{n-x}\,dH(x)=\exp\left(x \log\left({p \over 1-p}\right) - \log\left(1-p\right)\right)\,dH(x),$

(do, tiel) la "natura parametro" η por ĉi tiu familio de distribuoj estas

$\eta = \log{p \over 1-p}.$

[pli al esti adiciita ĉi tie....]

[redaktu] Maksimuma entropia derivaĵo

La eksponenta funkcia familio ekestas (naive, krude, nature) kiel la esti konforma al jena demando: kio estas la maksimuma entropia distribuo konsekvenca kun donita (limigoj, limigas) sur atendataj valoroj?

La informa entropio de probablodistribuo _dF_(x) povas nur esti komputita kun respekto al iu alia probablodistribuo (aŭ, pli ĝenerale, pozitiva mezuri), kaj ambaŭ (mezuras, kriterioj, kriterias, mezuroj) devas esti reciproke absolute kontinua. Laŭe, ni (bezoni, bezono, necesa) al (preno, preni) referenco mezuri _dH_(x) kun la sama subteno kiel _dF_(x). Kiel _aside_, _frequentists_ (bezoni, bezono, necesa) al kompreni (tiu, ke, kiu) ĉi tiu estas grande ajna elekto, dum _Bayesians_ povas (justa, ĵus) fari ĉi tiu elekta parto de ilia antaŭa.

La entropio de _dF_(x) relativa al _dH_(x) estas

$S[dF|dH]=-\int {dF\over dH}\ln{dF\over dH}\,dH$

aŭ

$S[dF|dH]=\int\ln{dH\over dF}\,dF$

kie _dF_/_dH_ kaj _dH_/_dF_ estas Radono-_Nikodym_ derivaĵoj. (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la ordinara difino de entropio por diskreta distribuo subtanata sur aro Mi, nome

$S=-\sum_{i\in I} p_i\ln p_i$

alprenas (kvankam ĉi tiu estas malofte punktita ekster) (tiu, ke, kiu) _dH_ estas elektita al esti kalkula mezuro sur Mi.

Konsideri nun kolekto de videbla (kvantoj, kvantas) (hazarda variablo) T_mi. La probablodistribuo _dF_ kies entropio kun respekto al _dH_ estas (plej granda, plej granda), kun rezervo pri la kondiĉoj (tiu, ke, kiu) la atendata valoro de T_mi esti egala al t_mi, estas membro de la eksponenta funkcia familio kun _dH_ kiel referenco mezuri kaj (T₁, ..., T_n) kiel sufiĉa statistiko.

La derivaĵo estas simpla _variational_ kalkulo uzanta Lagrange-a (multiplikantoj, multiplikantas). Normaligo estas (trudita, altrudita) per lasanta T₀ = 1 esti unu el la (limigoj, limigas). La natura (parametroj, parametras) de la distribuo estas la Lagrange-a (multiplikantoj, multiplikantas), kaj la normaliga faktoro estas la Multiplikanto de Lagrange asociita al T₀.

[redaktu] Rolo en statistiko

Klasika _frequentist_ testado de hipotezo estas serioze obstrukcita ĉe (verŝajnecoj, verŝajnecas) kiu estas ne eksponentaj funkciaj familioj pro la manko de sufiĉa statistiko. Per kontrasto, Konkludo de Bayes povas ankoraŭ esti portita ekster se la bezonaĵaj ciferecaj integraloj povas esti (aperita, plenumita) ĉu rekte aŭ (pli kutime) per simulado. La eksponenta funkcia familio (konstruas, faras) Bayes-a proksumumo (procedoj, proceduroj, proceduras) tre simpla, ĉar ili povas esti simple esprimita en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de uzanta la observis (valoroj, valoras) de la sufiĉa statistiko al ĝisdatigi la (parametroj, parametras) de la konjugita antaŭ.

[redaktu] Klasika proksumumo: sufiĉeco

Laŭ la _Pitman_-_Koopman_-_Darmois_ teoremo, inter (familioj, familias) de probablodistribuoj kies domajno ne varii kun la parametro estante taksis, nur en eksponentaj funkciaj familioj estas tie sufiĉa statistiko kies dimensio restas barita kiel specimena amplekso (multigas, pligrandiĝoj, pligrandiĝas). Pli longa-_windedly_, supozi X_n, n = 1, 2, 3, ... estas sendependa idente distribuis hazarda variablo kies distribuo estas sciata al furori iu familio de probablodistribuoj. Nur se (tiu, ke, kiu) familio estas eksponenta funkcia familio estas tie (eble vektoro-valora) sufiĉa statistiko T(X₁, ..., X_n) kies nombro de skalaro (komponantoj, komponantas) ne (multigi, pligrandiĝo) kiel la specimena amplekso n (multigas, pligrandiĝoj, pligrandiĝas).

[redaktu] Bayes-a proksumumo: konjugitaj distribuoj

Eksponentaj funkciaj familioj estas ankaŭ grava en Bayes-a statistiko. En Bayes-a statistika antaŭa distribuo estas (obligita, multiplikita) per verŝajneca funkcio kaj tiam _normalised_ al produkti _posterior_ distribuo. Ĉe verŝajneco kiu apartenas al la eksponenta funkcia familio tie ekzistas konjugita antaŭ, kiu estas ofte ankaŭ en la eksponenta funkcia familio. Konjugita antaŭ estas unu kiu, kiam kombinita kun la verŝajneco kaj _normalised_, produktas _posterior_ distribuo kiu estas de la sama tipo kiel la antaŭa.

Ekzemple, se unu estas taksanta la sukcesa probablo de duterma distribuo, tiam se unu elektas al uzi β distribuo kiel unu's antaŭa, la _posterior_ estas alia β distribuo. Ĉi tiu (konstruas, faras) la kalkulado de la _posterior_ aparte simpla. Simile, se unu estas taksanta la parametro de _Poisson_ distribuo la uzi de γ antaŭa estos (plumbo, konduki) al alia γ _posterior_. Konjugita _priors_ estas ofte tre fleksebla kaj povas esti tre oportuna. Tamen, se unu's konvinko pri la verŝajna valoro de la θ parametro de dutermo estas (prezentita, prezentis) per (diri) _bimodal_ (du-(arkigita, ĝibaĵita, ĝibita)) antaŭa distribuo, tiam ĉi tiu ne povas esti (prezentita, prezentis) per β distribuo.

Ajna verŝajneco estos ne aparteni la eksponenta funkcia familio, kaj tial en ĝenerala ne konjugita antaŭ ekzistas. La _posterior_ estos tiam devi esti komputita per ciferecaj manieroj.

[redaktu] Statistika konkludo

[redaktu] Specimenaj distribuoj

Kiel diskutis pli supre, la sufiĉa statistiko (T₁, ..., T_n) ludas _pivotal_ rolo en statistika konkludo, ĉu klasika aŭ Bayes-a. Laŭe, ĝi estas (interezanta, interesanta) al studi ĝia specimena distribuo. Tio estas, se X₁, ..., X_m estas hazarda specimeno—tio estas, kolekto de sendependa, idente-distribuis hazarda variablo—desegnita de distribuo en la eksponenta funkcia familio, ni scivoli la probablodistribuo de la statistiko

$\widehat t_i={1\over m}\sum_{j=1}^m T_i(X_j).$

Lasanta T₀=1, ni povas skribi

$dF(\eta)=e^{-\eta^\alpha T_\alpha}dH$

uzanta Ejnŝtejna sumada konvencio, nome

$\eta^\alpha T_\alpha=\eta^0 T_0+\eta^i T_i=\eta^0T_0+\eta^1T_1+\cdots+\eta^nT_n$

Tiam,

$Z[\eta]=\int dF=e^{-\eta^0+A(\eta)}$

estas kio (fizikistoj, fizikistas) (voko, voki) la dispartiga funkcio en statistika mekaniko. La kondiĉo (tiu, ke, kiu) _dF_ esti ununormigita (implicas, enhavas) (tiu, ke, kiu) η⁰ = A(η), kiel anticipis en la pli supre sekcio sur informa entropio.

Venonta, ĝi estas simpla al kontroli (tiu, ke, kiu)

${\partial\over\partial\eta^i}\ln Z(\eta)={\partial\over\partial\eta^i}A(\eta)=E[T_i\mid\eta],$

signifita t_mi, kaj

${\partial^2\over\partial\eta^i\,\partial\eta^j}\ln Z(\eta)={\partial^2\over\partial\eta^i\,\partial\eta^j}A(\eta)={\rm Cov}[T_i,T_j\mid\eta]$

signifita t_{_ij_}. Kiel la sama informo povas esti ricevita de ĉu Z aŭ A, ĝi estas ne necesa al ununormigi la probablodistribuo _dF_ per opcio η₀ = A antaŭ prenante la derivaĵoj. Ankaŭ, la funkcio A(η) estas la _cumulant_-generanta funkcio de la distribuo de T ne (justa, ĵus) por _dF_ aŭ _dH_ sed por la tuta eksponenta funkcio _subfamily_ kun la donita _dH_ kaj T.

La ekvacioj

$E[T_i(X)\mid\eta]=t_i$

povas kutime esti solvita al trovi η kiel funkcio de t_mi, kiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) ĉu aro de (parametroj, parametras) povas kutimi plene precizigi membro de la specifa _subfamily_ sub konsidero. En (tiu, ke, kiu) (kesto, okazo), la (kunvariancoj, kunvariancas, kovariancoj, kovariancas) t_{_ij_} povas ankaŭ esti esprimita en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la t_mi, kiu estas utila por proksumumo (celoj, celas) kiel ni estos vidi pli sube.

Ni estas nun preta al konsideri la hazardaj specimenoj menciis pli frua. Ĝi sekvas (tiu, ke, kiu)

$E[\widehat t_i]=t_i,$

tio estas, la statistiko $\widehat{t_i}$ estas nedekliva proksimumilo de t_mi. Ankaŭ, ekde la eroj de hazarda specimeno estas alprenita al esti reciproke sendependa,

${\rm Cov}[\widehat{t_i},\widehat{t_j}]={1\over m^2}\sum_{k,l=1}^m{\rm Cov}[T_i(X_k),T_j(X_l)]={1\over m}t_{ij}$

Ĉar la kunvarianco _vanishes_ en la limigo de grandaj specimenoj, la (proksimumiloj, proksimumas) $\widehat{t_i}$ estas dirita al esti konsekvenca.

Pli ĝenerale, la k(th, -a) _cumulant_ de la distribuo de $\widehat{t_i}$ povas vidiĝi al kadukiĝo kun la (k − 1)(th, -a) povo de specimena amplekso, (do, tiel) la distribuo de ĉi tiu statistiko estas asimptote multvariebla normala distribuo. Al uzi asimptota normaleco (kiel unu devus en la konstruado de fidaj intervaloj) unu (bezonas, bezonoj) taksi de la (kunvariancoj, kunvariancas, kovariancoj, kovariancas). Pro tio ni ankaŭ (bezoni, bezono, necesa) al rigardi la specimena distribuo de

$\widehat t_{ij}={1\over m-1}\sum_{k=1}^m (T_i(X_k)-\widehat{t_i})(T_j(X_k)-\widehat{t_j}).$

Ĉi tiu estas facile vidita al esti nedekliva proksimumilo de t_{_ij_}, sed konsekvenco kaj asimptota _chi_-(kvadratita, placita, kvadratigita) konduto estas iom pli koncernata, kaj dependi sur la tria kaj kvara _cumulants_ de _dF_.

[redaktu] Testado de hipotezo

[redaktu] Fidaj intervaloj

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

A aboco sur la eksponenta funkcio _familiy_ de distribuoj

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Eksponenta_funkcia_familio_3de1.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Matematiko | Kontinuaj distribuoj | Diskretaj distribuoj

We provide Linux to the World