Vikipedio:Projekto matematiko/Cirkla grupo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Cirkla grupo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, la cirkla grupo, signifis per T (aŭ en aĵura tiparo per $\mathbb T$ ), estas la multiplika grupo de ĉiuj kompleksaj nombroj kun absoluta valoro 1. La nomo venas de la fakto (tiu, ke, kiu) ĉi tiuj nombroj (mensogi, kuŝi) sur la unuobla cirklo en la kompleksa ebeno.

$\mathbb T = \{ z \in \mathbb C : |z| = 1 \}.$

La cirkla grupo (formoj, formas) subgrupo de C^×, la multiplika grupo de ĉiuj nenulaj kompleksaj nombroj. Ekde C^× estas abela, ĝi sekvas (tiu, ke, kiu) T estas kiel bone.

La (notacio, skribmaniero) T por la cirkla grupo (tigoj, tigas) de la fakto (tiu, ke, kiu) Tⁿ (la direkto (produkto, produto) de T kun sin n (tempoj, tempas)) estas geometrie n-toro. La cirkla grupo estas tiam 1-toro.

[redaktu] Topologia kaj analitika strukturo

La cirkla grupo estas pli ol (justa, ĵus) abstrakta algebra grupo. Ĝi havas natura topologio kiam estimis kiel subspaco de la kompleksa ebeno. Ekde multipliko kaj inversigo estas kontinuaj funkcioj sur C^×, la cirkla grupo havas la strukturo de topologia grupo. Ankaŭ, ekde la unuobla cirklo estas (fermita, fermis) subaro de la kompleksa ebeno, la cirkla grupo estas (fermita, fermis) subgrupo de C^× (sin estimis kiel topologia grupo).

Unu povas diri (eĉ, ebena, para) pli. La cirklo estas 1-dimensia (dukto (matematiko), dukto) kaj multipliko kaj inversigo estas (reala, reela)-analitiko (mapoj, mapas) sur la cirklo. Ĉi tiu donas la cirkla grupo la strukturo de 1-dimensia Grupo de Lie. Fakte, supren al izomorfio, ĝi estas la unika 1-dimensia kompakta, koneksa Grupo de Lie. Ankaŭ, ĉiu n-dimensia kompakta, koneksa, abela Grupo de Lie estas izomorfia al Tⁿ.

(Ĉiu, Iu) kompakta Grupo de Lie G de dimensio > 0 havas subgrupo izomorfia al la cirkla grupo. (Tiu, Ke, Kiu) (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu), (opinianta, pensanta) en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de simetrio, kompakta geometria simetria grupo agante kontinue povas esti atendita al havi unu-parametra cirklo (subgrupoj, subgrupas) agante; la konsekvencoj en fizikaj sistemoj estas vidita ekzemple je turna invarianto, kaj spontana simetria rompado.

La cirkla grupo havas multaj (subgrupoj, subgrupas), sed ĝia nur pozitiva (fermita, fermis) (subgrupoj, subgrupas) konsisti el (radikoj, radikas) de unueco: estas unu tia, tio estas cikla de (mendi, ordo) n, por ĉiu entjero n > 0.

[redaktu] (Izomorfioj, Izomorfias)

La cirkla grupo montras supren en giganta (diversaj, diversaĵo) de (formoj, formas) en matematiko. Ni listo iu de la pli komuna (formoj, formas) ĉi tie. Aparte, ni montri (tiu, ke, kiu)

$\mathbb T \cong \mbox{U}(1) \cong \mbox{SO}(2) \cong \mathbb R/\mathbb Z$

La aro de ĉiuj 1×1 (unita (ankaŭ unuohava [ringo], unuargumenta) matricoj klare koincidas kun la cirkla grupo; la (unita (ankaŭ unuohava [ringo], unuargumenta) kondiĉo estas ekvivalento al la kondiĉo (tiu, ke, kiu) ĝia ero havi absoluta valoro 1. Pro tio, la cirkla grupo estas kanone izomorfia al U(1), la unua unuargumenta grupo.

La eksponenta funkcio donas pligrandiĝo al grupa homomorfio (eksp, exp) : R → T de la alsumaj reelaj nombroj R al la cirkla grupo T tra la mapo

$\theta \mapsto e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.$

La lasta egaleco estas Eŭlera formulo. La reela nombro $θ$ korespondas al la angulo sur la unuobla cirklo kiel (mezuris, kriteriita) de la pozitiva x-akso. (Tiu, Ke, Kiu) ĉi tiu mapo estas homomorfio sekvas de la fakto la multipliko de unuaj kompleksaj nombroj korespondas al (aldono, adicio) de anguloj:

$e^{i\theta_1}e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1+\theta_2)}.$

Ĉi tiu eksponenta funkcia surĵeto estas klare (surjekcia, surĵeta) funkcio de R al T. Ĝi estas ne, tamen, (disĵeta, enjekcia). La kerno de ĉi tiu mapo estas la aro de ĉiu entjero (obloj, oblas) de $2π$ . Per la unua izomorfia teoremo ni tiam havi (tiu, ke, kiu)

$\mathbb T \cong \mathbb R/2\pi\mathbb Z.$

Post _rescaling_ ni povas ankaŭ diri (tiu, ke, kiu) T estas izomorfia al R/Z.

Se kompleksaj nombroj estas komprenita kiel 2×2 (reala, reela) matricoj (vidi kompleksa nombro), la unuaj kompleksaj nombroj esti konforma laŭ 2×2 perpendikulara matrica unuhava determinanto. Aparte, ni havi

$e^{i\theta} \leftrightarrow \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix}.$

La cirkla grupo estas pro tio izomorfia al la speciala perpendikulara grupa So(2). Ĉi tiu havas la geometria interpretado (tiu, ke, kiu) multipliko per unua kompleksa nombro estas pozitiva turnado en la kompleksa ebeno, kaj ĉiu tia turnado estas de ĉi tiu (formo, formi).

[redaktu] Algebra strukturo

En ĉi tiu sekcio ni estos forgesi pri la topologia strukturo de la cirkla grupo kaj (aspekti, aspekto, rigardi) nur je ĝia algebra strukturo.

La cirkla grupo T estas dividebla grupo. Ĝia _torsion_ subgrupo estas donita per la aro de ĉiuj n(th, -a) (radikoj, radikas) de unueco por ĉiuj n, kaj estas izomorfia al Q/Z. La struktura teoremo por divideblaj grupoj diras ni (tiu, ke, kiu) T estas izomorfia al la direkta sumo de Q/Z kun nombro de (kopioj, kopias) de Q. La nombro de (kopioj, kopias) de Q devas esti c (la kardinalo de la kontinuaĵo) en ordo por la kardinalo de la direkta sumo al esti konforma. Sed la direkta sumo de c (kopioj, kopias) de Q estas izomorfia al R, kiel R estas vektora spaco de dimensio c super Q. Tial

$\mathbb T \cong \mathbb R \oplus (\mathbb Q / \mathbb Z)$ .

La izomorfio

$\mathbb C^\times \cong \mathbb R \oplus (\mathbb Q / \mathbb Z)$

povas esti (pruvita, pruvis) en la sama vojo, kiel C^× estas ankaŭ dividebla komuta grupo kies _torsion_ subgrupo estas la sama kiel la _torsion_ subgrupo de T.

[redaktu] Vidi ankaŭ

toro
unu-parametra subgrupo
unuargumenta grupo

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Cirkla_grupo_64c5.html"

We provide Linux to the World

Vikipedio:Projekto matematiko/Cirkla grupo

El Vikipedio

Enhavo

[redaktu] Topologia kaj analitika strukturo

[redaktu] (Izomorfioj, Izomorfias)

[redaktu] Algebra strukturo

[redaktu] Vidi ankaŭ

Views

Navigado

Serĉu

Aliaj lingvoj