Vikipedio:Projekto matematiko/Aleksandrov-a topologio

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Aleksandrov-a topologio (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En ĝenerala topologio la malfermitaj aroj de topologia spaco kontentigi per difino la kondiĉoj:

1. La unio de arbitre multaj malfermitaj aroj estas (malfermi, malfermita).
2. La komunaĵo de finie multaj malfermitaj aroj estas (malfermi, malfermita).

La evidenta nesimetrio en ĉi tiuj kondiĉoj (plumboj, plumbas, kondukas) unu al (demandi, peti): "Kio okazas kiam la komunaĵo de arbitre multaj malfermitaj aroj estas (malfermi, malfermita)?" La (respondo, respondi) estas, la Aleksandrov-a topologio.

_

Enhavo 1 Karakterizadoj de Aleksandrov-aj topologioj 2 Duvarianteco kun antaŭordigis aroj 2.1 La Aleksandrov-a topologio sur antaŭordigis aro 2.2 La specialeco (antaŭordigo, antaŭordigi) sur topologia spaco 2.3 Ekvivalento inter (antaŭordigoj, antaŭordigas) kaj Aleksandrov-aj topologioj 2.4 Ekvivalento inter _monotony_ kaj kontunueco 2.5 Kategoria teoria priskribo de la duvarianteco 2.6 Interrilato al la konstruado de modala (algebroj, algebras) de modala (enkadrigas, kadroj, kadras) 3 Aplikoj ekster pura matematiko 3.1 Komputiko 3.2 Fiziko 4 Historio 5 Referencoj

_

[redaktu] Karakterizadoj de Aleksandrov-aj topologioj

Aleksandrov-aj topologioj havi multaj karakterizadoj:

Estu X = <X, T> esti topologia spaco. Tiam jeno estas ekvivalento

• (Malfermi, Malfermita) kaj fermitaj araj karakterizadoj:
  • Malfermita ara karakterizado. An ajna komunaĵo de malfermitaj aroj en X estas (malfermi, malfermita).
  • Fermita ara karakterizado. An ajna unio de fermitaj aroj en X estas (fermita, fermis).

• Najbaraĵaj karakterizadoj:
  • (plej minuskla, plej malgranda) najbaraĵa karakterizado. Ĉiu punkto de X havas (plej minuskla, plej malgranda) najbaraĵo.
  • Najbaraĵa filtrila karakterizado. La najbaraĵa filtrilo de ĉiu punkto en X estas (fermita, fermis) sub ajna (komunaĵoj, komunaĵas, intersekcoj, intersekcas).

• Eno kaj (fermaĵo, adheraĵo) algebraj karakterizadoj:
  • Ena operatora karakterizado. La ena operatoro de X distribuas super ajna (komunaĵoj, komunaĵas, intersekcoj, intersekcas) de (subaroj, subaras).
  • Fermaĵa operatora karakterizado. La fermaĵa operatoro de X distribuas super ajna (kunaĵoj, kunaĵas, unioj, unias) de (subaroj, subaras).

• (Antaŭordigo, Antaŭordigi) karakterizadoj:
  • Specialeco (antaŭordigo, antaŭordigi) karakterizado. T estas la _finest_ topologio konsekvenca kun la specialeco (antaŭordigo, antaŭordigi) de X kio estas la _finest_ topologio donanta la (antaŭordigo, antaŭordigi) ≤ (veriganta, kontentiganta) x ≤ y se kaj nur se x estas en la (fermaĵo, adheraĵo) de {y} en X.
  • Apertigi-ara karakterizado. Estas (antaŭordigo, antaŭordigi) ≤ tia (tiu, ke, kiu) la malfermitaj aroj de X estas precize tiuj (tiu, ke, kiu) estas _upwardly_ (fermita, fermis) mi.e se x estas en la aro kaj x ≤ y tiam y estas en la aro. (Ĉi tiu (antaŭordigo, antaŭordigi) estos esti precize la specialeco (antaŭordigo, antaŭordigi).)
  • (Fermita, Fermis) suben-ara karakterizado. Estas (antaŭordigo, antaŭordigi) ≤ tia (tiu, ke, kiu) la fermitaj aroj de X estas precize tiuj (tiu, ke, kiu) estas _downwardly_ (fermita, fermis) mi.e se x estas en la aro kaj y ≤ x tiam y estas en la aro. (Ĉi tiu (antaŭordigo, antaŭordigi) estos esti precize la specialeco (antaŭordigo, antaŭordigi).)
  • _Upward_ ena karakterizado. A punkto x (mensogoj, mensogas, kuŝas) en la eno de subaro S de X se kaj nur se estas punkto y en S tia (tiu, ke, kiu) y ≤ x kie ≤ estas la specialeco (antaŭordigo, antaŭordigi) kio estas y (mensogoj, mensogas, kuŝas) en la (fermaĵo, adheraĵo) de {x}.
  • _Downward_ (fermaĵo, adheraĵo) karakterizado. A punkto x (mensogoj, mensogas, kuŝas) en la (fermaĵo, adheraĵo) de subaro S de X se kaj nur se estas punkto y en S tia (tiu, ke, kiu) x ≤ y kie ≤ estas la specialeco (antaŭordigo, antaŭordigi) kio estas x (mensogoj, mensogas, kuŝas) en la (fermaĵo, adheraĵo) de {y}.

• Finia generacio kaj kategoriaj teoriaj karakterizadoj:
  • Finia (fermaĵo, adheraĵo) karakterizado. A punkto x (mensogoj, mensogas, kuŝas) en la (fermaĵo, adheraĵo) de subaro S de X se kaj nur se estas finia subaro de F de S tia je x (mensogoj, mensogas, kuŝas) en la (fermaĵo, adheraĵo) de F.
  • Finia subspaca karakterizado. T estas la _finest_ topologio konsekvenca kun la (topologioj, topologias) de la finia (subspacoj, subspacas) de X.
  • Finia inkluziveca surĵeta karakterizado. La inkluzivecaj surĵetoj f_mi : X_mi → X de la finia (subspacoj, subspacas) de X (formo, formi) fina profundiĝi.
  • Finia generacia karakterizado. X estas finie generita kio estas ĝi estas en la fina (hulo, fuzelaĝo) de la finia (spacoj, kosmoj, spacetoj). (Ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) estas fina profundiĝi f_mi : X_mi → X kie ĉiu X_mi estas finia topologia spaco.)

Topologiaj spacoj (veriganta, kontentiganta) la pli supre ekvivalentaj karakterizadoj estas (nomita, vokis) finie generita (spacoj, kosmoj, spacetoj) aŭ Aleksandrov (spacoj, kosmoj, spacetoj) kaj ilia topologio T estas (nomita, vokis) la Aleksandrov-a topologio, nomis post la Rusia matematikisto _Pavel_ Aleksandrov kiu unua esploris ilin.

[redaktu] Duvarianteco kun antaŭordigis aroj

[redaktu] La Aleksandrov-a topologio sur antaŭordigis aro

Donita antaŭordigis aro X = <X, ≤> ni povas difini Aleksandrov-a topologio T sur X per elektanta la malfermitaj aroj al esti la supren-aroj:

T = { S ⊆ X : por ĉiuj x,y &_isin_; X, x &_isin_; S kaj x≤y (implicas, enhavas) y &_isin_; S }

Ni tial ricevi topologia spaco T(X) = <X, T>. La (korespondanta, respektiva) fermitaj aroj estas la suben-aroj:

{ S ⊆ X : por ĉiuj x,y &_isin_; X, x &_isin_; S kaj y≤x (implicas, enhavas) y &_isin_; S }

[redaktu] La specialeco (antaŭordigo, antaŭordigi) sur topologia spaco

Donita topologia spaco X = <X, T> la specialeco (antaŭordigo, antaŭordigi) sur X estas difinita per:

x≤y se kaj nur se x estas en la (fermaĵo, adheraĵo) de {y}.

Ni tial ricevi antaŭordigita aro W(X) = <X, ≤>.

[redaktu] Ekvivalento inter (antaŭordigoj, antaŭordigas) kaj Aleksandrov-aj topologioj

Por ĉiu antaŭordigis aro X = <X, ≤> ni ĉiam havi W(T(X)) = X, kio estas la (antaŭordigo, antaŭordigi) de X estas reakirita de la topologia spaco T(X) kiel la specialeco (antaŭordigo, antaŭordigi). Ankaŭ por ĉiu Aleksandrov spaco X, ni havi T(W(X)) = X, kio estas la Aleksandrov-a topologio de X estas reakirita kiel la topologio konkludis per la specialeco (antaŭordigo, antaŭordigi).

Tamen por topologia spaco en ĝenerala ni fari ne havi T(W(X)) = X.

[redaktu] Ekvivalento inter _monotony_ kaj kontunueco

Donita monotona funkcio

f : X→Y

inter du antaŭordigitaj aroj (kio estas funkcio

f : X→Y

inter la subaj aroj tia (tiu, ke, kiu) x≤y en X (implicas, enhavas) f(x)≤f(y) en Y), estu

T(f) : T(X)→T(Y)

esti la sama mapo kiel f (konsiderita, konsideris) kiel mapo inter la (korespondanta, respektiva) Aleksandrov (spacoj, kosmoj, spacetoj). Tiam

T(f) : T(X)→T(Y)

estas kontinua mapo.

Male donita kontinua mapo

f : X→Y

inter du topologiaj spacoj, estu

W(f) : W(X)→W(Y)

esti la sama mapo kiel f (konsiderita, konsideris) kiel mapo inter la (korespondanta, respektiva) antaŭordigis aroj. Tiam

W(f) : W(X)→W(Y)

estas monotona funkcio.

Tial mapo inter du antaŭordigitaj aroj estas monotona se kaj nur se ĝi estas kontinua mapo inter la (korespondanta, respektiva) Aleksandrov (spacoj, kosmoj, spacetoj). Male mapo inter du Aleksandrov (spacoj, kosmoj, spacetoj) estas kontinua se kaj nur se ĝi estas monotona funkcio inter la (korespondanta, respektiva) antaŭordigis aroj.

(Rimarki, Avizo) tamen (tiu, ke, kiu) ĉe (topologioj, topologias) escepte la Aleksandrov-a topologio, ni povas havi mapo inter du topologia spaca tio estas ne kontinua sed kiu estas tamen ankoraŭ monotona funkcio inter la (korespondanta, respektiva) antaŭordigis aroj. (Al vidi ĉi tiu konsideri ne-Aleksandrov spaco X kaj konsideri la identa surĵeto

mi : X→T(W(X)).)

[redaktu] Kategoria teoria priskribo de la duvarianteco

Estu Aro signifi la kategorio de aroj kaj (mapoj, mapas). Estu Supro signifi la kategorio de topologiaj spacoj kaj kontinua (mapoj, mapas); kaj estu _Pro_ signifi la kategorio de antaŭordigitaj aroj kaj monotonaj funkcioj. Tiam

T : _Pro_→Supro kaj

W : Supro→_Pro_

estas (betono, konkreta) _functors_ super Aro kiu estas (maldekstre, restita) kaj (ĝusta, dekstra, rajto) (adjunktoj, adjunktas) respektive.

Estu _Alx_ signifi la plena subkategorio de Supro konsistanta de la Aleksandrov (spacoj, kosmoj, spacetoj). Tiam la limigoj

T : _Pro_→_Alx_ kaj

W : _Alx_→_Pro_

estas inverso (betono, konkreta) (izomorfioj, izomorfias) super Aro.

_Alx_ estas fakte _bicoreflective_ subkategorio de Supro kun _bicoreflector_ T◦W : Supro→_Alx_. Ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) donita topologia spaco X, la identa surĵeto

mi : T(W(X))→X

estas kontinua kaj por ĉiu kontinua mapo

f : Y→X

kie Y estas Aleksandrov spaco, la komponaĵo

mi ^-1◦f : Y→T(W(X))

estas kontinua.

[redaktu] Interrilato al la konstruado de modala (algebroj, algebras) de modala (enkadrigas, kadroj, kadras)

Donita antaŭordigis aro X, la ena operatoro kaj fermaĵa operatoro de T(X) estas donita per:

_Int_(S) = { x &_isin_; X : tie ekzistas y &_isin_; S kun y≤x } aŭ ekvivalente { x &_isin_; X : por ĉiuj y &_isin_; X, x≤y (implicas, enhavas) y &_isin_; S }, por ĉiuj S &_sube_; X

_Cl_(S) = { x &_isin_; X : tie ekzistas y &_isin_; S kun x≤y } por ĉiuj S &_sube_; X

Konsideranta la ena operatoro kaj fermaĵa operatoro al esti modalaj operatoroj sur la aro de ĉiu subara Bulea algebro de X, ĉi tiu konstruado estas speciala okazo de la konstruado de modala algebro de modala kadra kio estas aro kun sola duargumenta rilato. (La lasta konstruado estas sin speciala okazo de pli ĝenerala konstruado de kompleksa algebro de rilata strukturo mi.e aro kun rilatoj difinis sur ĝi.) La klaso de modala (algebroj, algebras) (tiu, ke, kiu) ni ricevi ĉe antaŭordigita aro estas la klaso de enaj algebroj - la algebra (abstraktadoj, abstraktadas) de topologiaj spacoj.

[redaktu] Aplikoj ekster pura matematiko

[redaktu] Komputiko

[redaktu] Fiziko

[redaktu] Historio

Aleksandrov (spacoj, kosmoj, spacetoj) estis unua prezentis en 1937 per P. S. Aleksandrov sub la nomo diskretaj spacoj en [_Ale37_] kie li provizis la karakterizadoj en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de aroj kaj najbaraĵoj. La nomaj diskretaj spacoj poste venis al esti uzita por topologiaj spacoj en kiu ĉiu subaro estas (malfermi, malfermita) kaj la originala koncepto kuŝigi _forgotten_. Kun la _advancement_ de kategoria topologio en la 1980-aj jaroj, Aleksandrov (spacoj, kosmoj, spacetoj) estis _rediscovered_ kiam la koncepto de finia generacio estis aplikita al ĝenerala topologio kaj la nomo finie generita (spacoj, kosmoj, spacetoj) estis adoptita por ilin. Aleksandrov (spacoj, kosmoj, spacetoj) estis ankaŭ _rediscovered_ ĉirkaŭ la sama tempo en la ĉirkaŭteksto de (topologioj, topologias) rezultanta de _denotational_ (semantiko, semantikoj, semantikas) kaj domajna teorio en komputiko.

En [_McC66_], M.C. _McCord_ havis observita (tiu, ke, kiu) tie estis duvarianteco inter parte ordaj aroj kaj (spacoj, kosmoj, spacetoj) kiu estis precize la T₀ (versioj, versias) de la (spacoj, kosmoj, spacetoj) (tiu, ke, kiu) Aleksandrov havis prezentita. P. _Johnstone_ referita al tia (topologioj, topologias) kiel Aleksandrov-aj topologioj en [_Joh82_]. En [_Are99_], F. G. (Arenoj, Arenas, Stadionoj, Stadionas) sendepende proponita ĉi tiu nomo por la ĝenerala versio de ĉi tiuj (topologioj, topologias).

Ĝi estis ankaŭ famekonata rezulto en la kampo de modala logiko (tiu, ke, kiu) duvarianteco ekzistas inter finiaj topologiaj spacoj kaj (antaŭordigoj, antaŭordigas) sur finiaj aroj (la finia modala (enkadrigas, kadroj, kadras) por la modala logiko _S4_). En [_Nat91_], C. _Naturman_ etendis ĉi tiuj rezultoj al duvarianteco inter Aleksandrov (spacoj, kosmoj, spacetoj) kaj (antaŭordigoj, antaŭordigas) en ĝenerala, provizanta la (antaŭordigo, antaŭordigi) karakterizadoj kaj ankaŭ la eno kaj (fermaĵo, adheraĵo) algebraj karakterizadoj.

Sistema (ekzameno, esploro) de ĉi tiuj (spacoj, kosmoj, spacetoj) de la punkto de vido de ĝenerala topologio kiu havis estas (malzorgita, neglektita) ekde la originala papero per Aleksandrov, estis prenita supren per F.G. (Arenoj, Arenas, Stadionoj, Stadionas) en [_Are99_].

Kuraĝigita per la uzi de Aleksandrov-aj topologioj en komputiko, aplikis (matematikistoj, matematikistas) kaj (fizikistoj, fizikistas) en la malfrua 1990's komencita esploranta la Aleksandrov-a topologio (korespondanta, respektiva) al kaŭzaj aroj kiu ekesti de (antaŭordigo, antaŭordigi) difinita sur spactempa modelanta kaŭzeco.

[redaktu] Referencoj

• [_Ale37_] _Alexandroff_, P., _Diskrete_ Räumeo, Mato. _Sb_. (N.S.) 2 (1937), 501-518.
• [_Are99_] (Arenoj, Arenas, Stadionoj, Stadionas), F.G., _Alexandroff_ (spacoj, kosmoj, spacetoj), _Acta_ Math. _Univ_. _Comenianae_ (Volumeno, Volumo). _LXVIII_, 1 (1999), _pp_. 17-25
• [_Joh82_] _Johnstone_, P.T., Ŝtono (spacoj, kosmoj, spacetoj), Kembriĝo (Britio) Universitato Premi (1982), 1986 redakcio
• [_McC66_] _McCord_, Sinjoro C., Singulara homologeco kaj homotopecaj grupoj de finiaj topologiaj spacoj, Duko Math. _Jour_, 33 (1966), 465-474.
• [_Nat91_] _Naturman_, C.A., Eno (Algebroj, Algebras) kaj Topologio, PH.Don/Doña tezo, Universitato de Kaburba Departemento de Matematiko, (1991)