Venskabstal

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

To heltal er venskabstal, hvis summen af de tal der går op i det ene tal er lig med det andet tal og omvendt. I denne sammenhæng medregner man ikke tallet selv som divisor.

De mindste venskabstal er 220 og 284. Idet 220 = 2² × 5 × 11 og 284 = 2² × 71

Altså er 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 og 110 de ægte divisorer i 220 og summen af disse tal er 284.

Ligeledes er 1, 2, 4, 71, 142 de ægte divisorer i 284 og summen af disse tal er 220.

Der er klart at i et par af venskabstal må det ene tal være defektivt, og det andet excessivt.

Den arabiske matematiker Tahib ibn Qurra (826-901) fandt at venskabstal kunne genereres ved følgende formel. Hvis

p = 3 × 2^n-1 - 1,

q = 3 × 2ⁿ - 1,

r = 9 × 2^2n-1 - 1,

hvor n er et heltal > 1 og p, q og r er primtal, så er 2ⁿpq og 2ⁿr venskabstal.

Denne formel genererer bl.a. venskabstallene (220, 284) for n = 2 og (17296, 18416) for n = 4.

Den svejtsiske matematiker Leonhard Euler har generaliseret formlen, men der findes også venskabstal som ikke udfylder disse formler f.eks. (1184, 1210) og (6232, 6368).

(1184,1210) er de næstmindste venskabstal, som først blev fundet i 1867 af den 16 årige italiener ved navn Nicolò Paganini.

[redigér] Se også

• Fuldkomne tal – hvor summen af divisorerne giver tallet selv.
• Alikvotfølge – venskabstal er et specialtilfælde af periodiske alikvotfølger