Dolní a horní množina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Horní množina a dolní množina jsou matematické pojmy z oboru teorie množin, konkrétněji z teorie uspořádání, které formalizují představu množiny, která obsahuje „s každým svým prvkem i všechny menší“ (dolní množina), resp. „s každým svým prvkem i všechny větší“ (horní množina).

[editovat] Definice

Předpokládejme, že množina A je uspořádána relací R a B je podmnožina A.
Řekneme, že B je horní množina, pokud s každým svým prvkem obsahuje i všechny menší prvky množiny A, tj.
$( \forall a, b \isin A) (( b \isin B \and a \leq_R b) \implies a \isin B)$
Řekneme, že B je dolní množina, pokud s každým svým prvkem obsahuje i všechny větší prvky množiny A, tj.
$( \forall a, b \isin A) (( b \isin B \and b \leq_R a) \implies a \isin B)$

[editovat] Příklady

Uvažujme množinu $R \,\!$ všech reálných čísel s jejím běžným uspořádáním podle velikosti.

Horní množiny na $R \,\!$ jsou právě všechny shora neomezené intervaly (ať již zdola otevřené nebo uzavřené).
Dolní množiny na $R \,\!$ jsou právě všechny zdola neomezené intervaly (ať již shora otevřené nebo uzavřené).

Uvažujme množinu $Z^{+} \,\!$ všech celých kladných čísel částečně uspořádanou relací S = { [a,b] : a dělí b }.

Každá dolní množina musí obsahovat číslo 1, protože 1 dělí každé číslo, takže $(\forall x)( 1 \leq_S x) \,\!$ .
Ze stejného důvodu existuje pouze jedna horní množina, která obsahuje číslo 1 - je to celá množina $Z^{+} \,\!$ . Platí totiž, že 1 dělí každé kladné celé číslo a pokud má horní množina obsahovat jedničku, musí obsahovat i všechna čísla, která jsou dělitelná jedničkou.
Množina obsahující pouze číslo 1 a nějaká prvočísla je dolní množina (například {1,3,5,13}, ale také nekonečná množina obsahující číslo 1 a všechna prvočísla).
Množina obsahující všechna čísla ze $Z^{+} \,\!$ kromě čísel 1,2,3,4 a 11 je horní množina.
Zajímavé je, že množina všech sudých čísel je horní množina v $Z^{+} \,\!$ - s každým číslem obsahuje i všechny jeho násobky. Naproti množina všech lichých čísel je dolní množina v $Z^{+} \,\!$ - s každým číslem obsahuje i všechny jeho dělitele. V tomto příkladě je dobře vidět, jak moc záleží na tom, jaké zvolíme uspořádání. Kdybychom místo dělitelnosti zvolili běžné uspořádání podle velikosti, pak množina sudých čísel rozhodně není horní (na to je „příliš děravá“) a množina lichých čísel rozhodně není dolní (na to jde „příliš daleko“ - dalo by se říci do nekonečna).