Dirichletův princip

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Dirichletův princip (někdy také označovaný jako zásuvkový princip) je matematické tvrzení tematicky patřící do oboru teorie množin, případně nekonečné kombinatoriky.

Obsah

1 Formulace principu
2 Možné problémy
- 2.1 Nelze se obejít bez axiomu výběru
- 2.2 Zobecnění nelze provést vůbec
3 Použití principu
4 Podívejte se také na

[editovat] Formulace principu

Dirichletův princip tvrdí, že pokud nekonečná množina vznikla jako sjednocení konečně mnoha množin, pak alespoň jedna z nich byla nekonečná.

Obdobný princip lze vyslovit i pro nespočetné množiny:
Pokud nespočetná množina vznikla jako sjednocení konečně mnoha množin, pak alespoň jedna z nich byla nespočetná.

Uveďme ještě třetí zajímavý princip podobného typu:
Pokud rozložíme množinu všech racionálních čísel na konečně mnoho částí, pak alespoň jedna z těchto částí obsahuje podmnožinu izomorfní s celou množinou racionálních čísel.

Při snaze o zobecňování Dirichletova principu především směrem k nekonečným systémům nekonečných množin se lze setkat hned se dvěma problémy: buď se nelze obejít bez axiomu výběru, nebo se zobecnění v některých případech provést vůbec nedá - viz následující kapitola.

[editovat] Možné problémy

[editovat] Nelze se obejít bez axiomu výběru

Následující verze Dirichletova principu je dokazatelná pouze připustíme-li axiom výběru. Tuto verzi lze vyjádřit třemi ekvivalentními způsoby:

Je-li sjednocení spočetně mnoha množin nespočetné, pak alespoň jedna z těchto množin je nespočetná.
Je-li sjednocení souboru spočetných množin nespočetné, pak tento soubor je nespočetný.
Sjednocení spočetně mnoha spočetných množin je spočetné.

Nedokazatelnost tohoto tvrzení v ZF lze ověřit užitím Fraenkel-Mostowského permutačních modelů.

[editovat] Zobecnění nelze provést vůbec

Velice oblíbená je úvaha typu:
Nekonečnou množinu X nikdy nemůžu získat jako sjednocení méně než |X| množin, z nichž každá má mohutnost menší než |X|.
Hodně se to podobá Dirichletovu principu v jeho nejjednodušší verzi… jenže to bohužel není pravda.

Uvažujme o kardinálním číslu $\aleph_{\omega} \,\!$ .
Takové číslo lze poskládat jako sjednocení spočetně mnoha (tedy méně než $\aleph_{\omega} \,\!$ ) disjunktních množin: $\aleph_{\omega} = \bigcup \{ a_i : i \isin \omega \} \,\!$ , z nichž každá má mohutnost menší než $\aleph_{\omega} \,\!$ .

Stačí definovat konečnou rekurzí:

$a_0 = \aleph_0 \,\!$
$a_i = \aleph_{i} - \bigcup \{ a_j : j < i \} \,\!$

Množiny, které takto „porušují“ možné zobecnění tohoto principu, se nazývají singulární kardinály.

[editovat] Použití principu

Nejužitečnější je i přes svou jednoduchost základní verze Dirichletova principu. V důkazu mnoha vět z matematické analýzy narazíme na formulace typu „až na konečný počet hodnot“, v jejichž pozadí obvykle stojí nějaká forma Dirichletova principu, často vnímaného jako něco samozřejmého, čím se pořádná matematika nechce a nemusí zabývat.