Morfisme
De Viquipèdia
En matemàtiques, un morfisme (o un homomorfisme) és, en general, una aplicació entre dos conjunts dotats d'una mateixa estructura algebraica, que és respectada per l'aplicació.
Sinònim: homomorfisme, que no s'ha de confondre amb homeomorfisme.
Aquesta noció és un dels conceptes bàsics de la teoria de les categories, on se li dóna una definició formal molt més àmplia. Així, un morfisme no és obligatòriament una funció, és simplement una relació entre dues classes que poden no ser conjunts.
Els morfismes es poden classificar en:
- un endomorfisme és un morfisme d'una estructura en ella mateixa.
- un isomorfisme és un morfisme
entre dos conjunts dotats de la mateixa mena d'estructura, tal que existeix un morfisme 
en el sentit invers, tal que 
i 
són la identitat de les estructures. - un automorfisme és un isomorfisme d'una estructura en ella mateixa.
- un epimorfisme és un morfisme
tal que per a tot parella de morfismes del tipus 
, si 
, llavors ha de ser 
. - un monomorfisme és un morfisme tal que per a tot parella de morfismes del tipus
, si , llavors ha de ser .
Exemple: la identitat d'un conjunt és sempre un morfisme, que respecta l'estructura considerada. I és un automorfisme.
Taula de continguts |
[edita] Cas dels grups
En el cas que els dos conjunts siguin dos grups, per tal que una certa aplicació
sigui un morfisme ha de verificar que:
[edita] Cas dels anells
En el cas de dos anells 
i 
amb elements neutres 
, per al conjunt 
, i 
, per al conjunt 
, una aplicació
ha de verificar:
i
Si els anells considerats a més a més, són unitaris, serà necessari que es compleixi:
-
.
Cal fer notar que un morfisme d'anells entre anells unitaris, pot no ser unitari.
[edita] Cas dels espais vectorials
En el cas de dos 
-espais vectorials i 
, un morfisme verifica:
-
és un morfisme de grup per a
i 
-
Que és equivalent a::
O dit d'una altra forma, un morfisme d'espais vectorials, no és res més que una aplicació lineal.
[edita] Cas de conjunts ordenats
Un morfisme entre dos conjunts ordenats és una aplicació creixent (una aplicació que conserva l'ordre):
Si ( A, ⊑ ) i ( B, ≼ ) són conjunts ordenats i f és una funció de A en B, f és un morfisme si per a tot x i y de A tals que x ⊑ y, f(x) ≼ f(y).
En la teoria dels ordres, es diu sovint funció monòtona a la funció creixent.
[edita] Conjunts isomorfs
Es diu que els conjunts i són isomorfs si existeix un isomorfisme de en .
Saber que dos conjunts són isomorfs té molt interès ja que això permet traspassar resultats i propietats demostrades d'un a l'altre conjunt.
Exemple: El grup de Klein és isomorf a 
.
[edita] Aplicacions pràctiques
L'estudi dels morfismes té aplicacions particularment importants en la Física moderna i en particular, a la Mecànica quàntica
