نظرية الاحتمالات

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

نظرية الاحتمال هي النظرية التي تدرس احتمال الحوادث العشوائية , فالبنسبة للرياضيين تعتبر الإحتمالات عبارة عن أرقام محصورة في المجال بين 0 و +1 تحدد احتمال حصول أو عدم حصول حدث معين عشوائي أي غير مؤكد . يتم تحديد احتمال الحدث $E$ بالقيمة $P (E)$ حسب بدهيات الاحتمال .

كما ندعو احتمال الحدث $E$ علما بحدوث الحدث $F$ : الاحتمال الشرطي للحدث $E$ مع العلم بحدوث $F$ . نمثل هذا الاحتمال الشرطي بالنسبة بين احتمال التقاطع بين الحدثين ( أي حدوثهما معا ) الى احتمال حدوث الحدث $F$ , أي $P(E \cap F)/P(F)$ . اذا لم تتغير قيمة الاحتمال الشرطي للحدث $E$ علما بوقوع $F$ عن القيمة الأصلية غير الشرطية للحدث أي أن احتمال واحدا في حال وقوع أو عدم وقوعه عندئذ نقول أن هذين الحدثين مستقلين .

تناقش نظرية الاحتمالات مصطلحين غاية في الهمية : المتغير العشوائي و التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي .

[تحرير] نظرة أكثر تجريدية

يعتبر الرياضيون عادة نظرية الاحتمالات على أنها دراسة فضاءات الاحتمال و المتغيرات العشوائية , على انها طريقة قدمت من قبل كولموغوروف في الثلاثينات من القرن العشرين . يمكنن تمثيل الفضاء الاحتمالي على أنه ثلاثية $(\Omega, \mathcal F, P)$ , حيث

$Ω$ تمثل مجموعة غير خالية, تدعى أحيانا فضاء العينة "sample space",

فضاء العينة يتكون من عناصر هي النتائج الممكنة لهذه التجربة العشوائية التي نقوم بدراسة احتمالاتها . مثلا , إذا تم اختيار مئة ناخب من مجمل ناخبي بلد ما و سألوا عن خيارهم الانتخابي , فإن مجموعة إجابات جميع هؤلاء الناخبين ستشكل فضاء العينة في حالة الانتخابات هذه : Ω.

$\mathcal F$ هو جبر-σ لفضاء العينة التي ندعو كل عنصر من عناصرها : حدثا event .

لكي نستطيع ان نقول أن $\mathcal F$ يشكل جبر-سيغما هذا يقتضي بالتعريف انها تحوي $Ω$ , بحيث أن متممة أي حدث تشكل حدثا أيضا , و اجتماع أي تسلسل أحداث هو حدث أيضا .