Superellips

vanuit Wikipedia, die vrye ensiklopedie.

Die superellips met n = 4, a = b = 1 benader 'n afgekante vierkant.

Die superellips (of Lamékromme) is die meetkundige figuur wat in die Cartesiese koördinaatstelsel gedefinieer word as die versameling punte (x, y) met

$\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1$

waar $n > 0$ en $a$ en $b$ die radiusse van die ovaal vorm is. Die geval $n = 2$ lewer die gewone ellips; vermeerdering van $n$ na meer as 2 lewer die hiperellipse, wat al hoe meer soos 'n reghoek lyk; vermindering van $n$ na minder as 2 lewer hipoellipse wat gepunte hoeke ontwikkel in die $x$ en $y$ rigtingsen al hoe meer soos kruise lyk.

[wysig] Effek van n

Indien n 'n rasionele getal is met 'n ewe teller en onewe noemer dan is die superellips 'n vlak algebraïese kromme. In besonder indien a en b beide een is en n 'n ewe heelgetal is, dan is dit 'n Fermatkromme met graad n. In die geval is dit nie-singulier, maar in die algemeen sal dit singulier wees. Indien die teller nie ewe is nie, dan word die kromme saamgeplak uit dele van dieselfde algebraïese kromme in verskillende oriëntasies.

Byvoorbeeld, indien x^4/3 + y^4/3=1, dan is die kromme 'n algebraïese kromme met graad twaalf en genus drie, wat gegee word deur die vergelyking

(x 4 + y 4) 3 - 3(x 4 - 3 x 2 y 2 + y 4)(x 4 + 3 x 2 y 2 + y 4) + 3(x 4 + y 4) - 1 = 0.

$x\left(\theta\right) = \plusmn a\cos^\frac{2}{n} \theta,$

$y\left(\theta\right) = \plusmn b\sin^\frac{2}{n} \theta;$

$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}.$

[wysig] Veralgemening

Voorbeeld van die veralgemeende superellips met m ≠ n.

Die superellips word verder veralgemeen as:

$\left|\frac{x}{a}\right|^m + \left|\frac{y}{b}\right|^n = 1; m, n > 0.$

[wysig] Superellipsoïed

Koper supereier deur Piet Hein.

In drie dimensies kan 'n superellipsoïed of supereier verkry word deur 'n superellips om die x-as te roteer wat die volgende generiese vorm lewer:

$\left ( |x|^\frac{2}{a} + |y|^\frac{2}{a} \right )^\frac{a}{b} + |z|^\frac{2}{b} = 1$

Met $a, b > 0$ .

[wysig] Geskiedenis

Hoewel die uitvinding van die superellips baie keer toegeskryf word aan die Deense digter en wetenskaplike Piet Hein (1905-1996), het hy nie die superellips ontdek nie. Die algemene Cartesiese notasie van die vorm is afkomstig van die Franse wiskundige Gabriel Lamé (1795–1870) wat die vergelyking vir die ellips veralgemeen het.

Piet Hein het egter gewildheid verleen aan die gebruik van die superellips in argitektuur, stadsbeplanning en meubelontwerp, en hy het wel die supereier of superellipsoïed uitgevind met die superellips te begin

$\left|\frac{x}{4}\right|^{2.5} + \left|\frac{y}{3}\right|^{2.5} = 1$

en dit om die x-as daarvan te wentel. Anders as 'n gewone ellipsoïed, kan die superellipsoïed regop op 'n plat oppervlak staan.

Toe stadsbeplanners in Stockholm, Swede 'n oplossing vir 'n verkeersirkel in die stadsplein Sergels Torg benodig het, het Piet Hein se superellips die nodige estetiese en praktiese oplossing verskaf. In 1969 kon onderhandellaars in die Vietnamoorlogvredessamesprekinge in Parys nie ooreenkom oor die vorm van die onderhandelingstafel nie. Piet Hein het 'n reuse superelliptiese tafel ontwerp om die partye te akkommodeer. Die superellips is ook gebruik vir die vorm van die 1968 Azteca Olympiese Stadion, in Meksiko Stad.

Hermann Zapf se lettertipe Melior, wat in 1952 uitgegee is, gebruik superellipse vir letters soos o. dertig jaar later het Donald Knuth die vermoeë om tussen ware ellipse en superellipse te kies in sy Computer Modern lettertipefamilie.

Man is the animal that draws lines which he himself then stumbles over. In the whole pattern of civilization there have been two tendencies, one toward straight lines and rectangular patterns and one toward circular lines. There are reasons, mechanical and psychological, for both tendencies. Things made with straight lines fit well together and save space. And we can move easily — physically or mentally — around things made with round lines. But we are in a straitjacket, having to accept one or the other, when often some intermediate form would be better. To draw something freehand — such as the patchwork traffic circle they tried in Stockholm — will not do. It isn't fixed, isn't definite like a circle or square. You don't know what it is. It isn't esthetically satisfying. The super-ellipse solved the problem. It is neither round nor rectangular, but in between. Yet it is fixed, it is definite — it has a unity. —Piet Hein

[wysig] Kyk ook

Astroïed, a spesifieke superellipse
Ellips
Ellipsoïed, 'n hoër dimensie analoog van 'n ellipse
Sferoïed, die ellipsoïed wat verkry word deur die ellipse om die hoof- of kortas te roteer
Superkwadratika

[wysig] Verwysings

Gardner, Martin: Piet Hein's Superellipse. - in Gardner, Martin: Mathematical Carnival. A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American. New York: Vintage, 1977, pp. 240-254.
Johan Gielis: Inventing the circle. The geometry of nature. - Antwerpen : Geniaal Press, 2003. - ISBN 90-807756-1-4

[wysig] Eksterne skakels

Ontsluit van "http://af.wikipedia.org../../../s/u/p/Superellips.html"

Kategorieë: Krommes | Algebraïese krommes

We provide Linux to the World