链复形

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数学上，同调代数领域中的一个链复形 $(A_\bullet, d_\bullet)$ 是一个交换群或者模的序列A₀, A₁, A₂... 通过一系列同态d_n : A_n→A_n-1相连，使得每两个连接的映射的复合为零：d_n o d_n+1 = 0对于所有n。它们常常写作如下形式：

$\ldots \to A_{n+1} \begin{matrix} d_{n+1} \\ \to \\ \, \end{matrix} A_n \begin{matrix} d_n \\ \to \\ \, \end{matrix} A_{n-1} \begin{matrix} d_{n-1} \\ \to \\ \, \end{matrix} A_{n-2} \to \ldots \to A_2 \begin{matrix} d_2 \\ \to \\ \, \end{matrix} A_1 \begin{matrix} d_1 \\ \to \\ \, \end{matrix} A_0 \begin{matrix} d_0 \\ \to \\ \, \end{matrix} 0.$

链复形概念的一个变种是上链复形。一个上链复形 $(A^\bullet, d^\bullet)$ 是一个交换群或者模的序列A₀, A₁, A₂...由一系列同态d_n : A_n→A_n+1相连，使得任何两个接连的映射的复合为零：d_n+1 o d_n = 0 对于所有的n:

$0 \to A_0 \begin{matrix} d_0 \\ \to \\ \, \end{matrix} A_1 \begin{matrix} d_1 \\ \to \\ \, \end{matrix} A_2 \to \ldots \to A_{n-1} \begin{matrix} d_{n-1} \\ \to \\ \, \end{matrix} A_n \begin{matrix} d_n \\ \to \\ \, \end{matrix} A_{n+1} \to \ldots.$

想法基本上是一样的。

链复形的应用通常定义并应用它们的同调群（对于上链复形是上同调群）；在更抽象的范围里，很多等价关系被应用到复形上（例如从链同伦的思想开始）。链复形很容易在交换范畴中定义。

一个有界复形是其中，几乎所有的A_i为零—这样一个有限的复形用0来伸展到左边和右边。一个例子是定义一个（有限）单纯复形的同调理论的复形。

[编辑] 例子

[编辑] 奇异同调

假定我们给定一个拓扑空间X。

定义C_n(X)（对于自然数n）为自由交换群由X中的奇异单纯形形式化的生成，并定义边界映射

$\partial_n: C_n(X) \to C_{n-1}(X): \, (\sigma: [v_0,\ldots,v_n] \to X) \mapsto (\partial_n \sigma = \sum_{i=0}^n (-1)^i \sigma|[v_0,\ldots, \hat v_i, \ldots, v_n]),$