同调
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数学上(特别是代数拓扑和抽象代数)中,同调 (homology,在希腊语中homos = 同)是一类将一个可换群或者模的序列和特定数学对象(例如拓扑空间或者群)联系起来的过程。背景知识请参看同调论。
对于一个特定的拓扑空间,同调群通常闭同伦群要容易计算得多,因此通常来讲用同调来辅助空间分类要容易处理一些。
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[编辑] 同调群的构造
其过程如下:给定对象X,首先定义链复形,它包含了X的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模的序列,群同态
满足任何两个相连的同态的复合为0:
对于所有n成立。着意味着第n+1个映射的像包含在第n个映射的核中,我们定义X的第n'阶同调群为因子群(因子模)
- Hn(X) = ker(dn) / im(dn + 1).
链复形称为恰当的,如果(n + 1)阶映射的像总是等于n阶映射的核。因此X的同调群是X所关联的链复形和恰当有“多远”的衡量。
[编辑] 例子
导致引入这个概念的例子是代数拓扑:单纯复形X的单纯同调。An在这里就是X中的n维可定向单纯形所生成的自由可换群或者模。这些映射称为边界映射,它将单纯形
映射为如下的和
如果我们将模取在一个域上,则X的n阶同调的维数就是X中n维的洞的个数。
仿照这个例子,可以定义任何拓扑空间X的奇异同调。我们定义X的上同调的链复形中的空间为An为自由可换群(或者自由模),其生成元为所有从n为单纯形到X的连续函数。同态dn从单纯形的边界映射得到。
抽象代数中,同调用于定义衍生函子(derived functor),例如,Tor函子。这里,我们可以从某个可加协变函子F和某个模X开始。X的链复形定义如下:首先找到一个自由模F1和一个满同态。然后找到一个自由模F2和一个满同态
。以该方式继续,得到一个自由模Fn和同态pn的序列。将函子F应用于这个序列,得到一个链复形;这个复形的同调Hn仅依赖于F和X,并且按定义就是F作用于X的n阶衍生函子。
[编辑] 同调函子
链复形构成一个范畴:从链复形到链复形
的态射是一个同态的序列
,满足
对于所有n成立。n阶同调 Hn可以视为一个从链复形的范畴到可换群(或者模)的范畴的协变函子。
若链复形以协变的方式依赖于对象X(也就是任何态射诱导出一个从X的链复形到Y的链复形的态射),则Hn是从X所属的范畴到可换群(或模)的范畴的函子。
同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于X,因此其同调群(在这个情况下称为上同调群并记为Hn)构成从X所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。
[编辑] 性质
若是链复形,满足出有限个An外所有项都是零,而非零的都是有限生成可换群(或者有限维向量空间),则可以定义欧拉特征数
(可换群采用阶而向量空间的情况采用[[哈默尔维数)。事实上在同调的层次上也可以计算:
并且,特别是在代数拓扑中,这提供了两个计算产生链复形的对象X的重要的不变量χ.
每个链复形的短恰当序列
导致一个同调群的长恰当序列
所有这个长恰当序列中的映射由链复形间的映射导出,除了映射之外。后者称为 连接同态',有蛇引理给出。
[编辑] 参看
- 奇异同调
- 上同调
- 同调论
- 同调代数