素數定理
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素数定理描述素数的大致分佈情況。
素数的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看，素数在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看，素数的個數竟然有規可循。對正實數x，定義π(x)為不大於x的素数個數。數學家找到了一些函數來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。
其中ln x為x的自然對數。上式的意思是當x趨近∞，π(x) 和x/ln x的比趨近1。但這不表示它們的數值隨著x增大而接近。
下面是對π(x)更好的估計：
，當 x 趨近∞。
其中
，而關係式右邊第二項是誤差估計，詳見大O符號。
下表比較了π(x)，x/ln x和Li(x)：
| x | π(x) | π(x) - x/ln(x) | Li(x) - π(x) | x/π(x) |
|---|---|---|---|---|
| 101 | 4 | 0 | 2 | 2.500 |
| 102 | 25 | 3 | 5 | 4.000 |
| 103 | 168 | 23 | 10 | 5.952 |
| 104 | 1,229 | 143 | 17 | 8.137 |
| 105 | 9,592 | 906 | 38 | 10.430 |
| 106 | 78,498 | 6,116 | 130 | 12.740 |
| 107 | 664,579 | 44,159 | 339 | 15.050 |
| 108 | 5,761,455 | 332,774 | 754 | 17.360 |
| 109 | 50,847,534 | 2,592,592 | 1,701 | 19.670 |
| 1010 | 455,052,511 | 20,758,029 | 3,104 | 21.980 |
| 1011 | 4,118,054,813 | 169,923,159 | 11,588 | 24.280 |
| 1012 | 37,607,912,018 | 1,416,705,193 | 38,263 | 26.590 |
| 1013 | 346,065,536,839 | 11,992,858,452 | 108,971 | 28.900 |
| 1014 | 3,204,941,750,802 | 102,838,308,636 | 314,890 | 31.200 |
| 1015 | 29,844,570,422,669 | 891,604,962,452 | 1,052,619 | 33.510 |
| 1016 | 279,238,341,033,925 | 7,804,289,844,392 | 3,214,632 | 35.810 |
| 4 •1016 | 1,075,292,778,753,150 | 28,929,900,579,949 | 5,538,861 | 37.200 |
素数定理可以給出第n個素数p(n)的漸近估計：
它也給出從整數中抽到素数的概率。從不大於n的自然數隨機選一個，它是素数的概率大約是1/ln n。
這定理的式子於1798年法國數學家勒讓德提出。1896年法國數學家哈達馬(Jacques Hadamard)和比利時數學家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後獨立給出證明。證明用到了複分析，尤其是黎曼ζ函數。
因為黎曼ζ函數與π(x)關係密切，關於黎曼ζ函數的黎曼猜想對數論很重要。一旦猜想獲證，便能大大改進素数定理誤差的估計。1901年瑞典數學家Helge von Koch證明出，假設黎曼猜想成立，以上關係式誤差項的估計可改進為
至於大O項的常數則還未知道。
[编辑] 初等證明
素数定理有些初等證明只需用數論的方法。第一個初等證明於1949年由匈牙利數學家保羅·艾狄胥和挪威數學家阿特利·西爾伯格合作得出。
在此之前一些數學家不相信能找出不需借助艱深數學的初等證明。像英國數學家哈代便說過素数定理必須以複分析證明，顯出定理結果的「深度」。他認為只用到實數不足以解決某些間題，必須引進複數來解決。這是憑感覺說出來的，覺得一些方法比別的更高等也更厲害，而素数定理的初等證明動搖了這論調。Selberg－艾狄胥的證明正好表示，看似初等的組合數學，威力也可以很大。
