康托尔悖论
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在数学中，康托尔悖论是集合论的一个定理，即没有最大的基数，所以“无限大小”的搜集自身是无限的。进一步的，从这个事实得出这个搜集不是集合而是真类；在 von Neumann-Bernays-Gödel 集合论中从这个事实得出大小限制公理，即这个真类必定双射于所有集合的集合。所以，不只是有无限多个无限，而是这个无限大于无限的任何枚举。
这个悖论命名以康托尔，他在1899年(或在1895年到1897年之间)首先提出了它。象多数数学悖论一样它实际上不是矛盾，而是在关于无限本质和集合概念的情况下错误直觉的体现。换个方式说，它在朴素集合论中的确是悖论并证实了这个理论对数学需要是不充足的。NBG 集合论解决了这个悖论使它适合作为替代者。
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[编辑] 陈述和证明
为了陈述这个悖论必须理解容许排序的基数，因此你可以谈论一个事物大于或小于另一个。则康拖尔悖论是:
- 定理:没有最大的基数。
- 证明: 假定相反情况，并设 C 为最大基数。则(在冯·诺伊曼基数公式化中) C 是一个集合因此有幂集 2C通过康拖尔定理，它有严格的大于 C 的势。但是根据定义 C 的势是 C 自身，所以我们展示了一个大于被假定为最大基数的 C 的势(就是 2C)。有这个矛盾达成了这样的基数不存在。
参见 A. Garciadiego 的《BERTRAND RUSSELL AND THE ORIGINS OF THE SET-THEORETIC 'PARADOXES》，其中讨论了这不是悖论和康拖尔不认为这是悖论的想法。
[编辑] 讨论和结论
因为基数是通过序数标定(indexing)而是良序的，(参见基数的形式定义)，这也确立了没有最大序数；反过来，后者陈述蕴涵了康托尔悖论。通过应用这个标定到 Burali-Forti悖论我们还结论出基数们是真类而不是集合，而(至少在 von Neumann-Bernays-Gödel 集合论中)从它得出没有在基数的类和所有集合的类之间的双射。因为所有集合是后者这个类的的子集，而所有势都是一个集合的势(通过定义!)这直觉的意味着基数的搜集的“势”大于任何集合的势: 它比任何真无穷更加无穷。这是康托尔悖论的悖论本质。
[编辑] 历史注释
尽管通常认定康托尔是第一个提出基数集合的这个性质的人，有些数学家认定这个贡献是伯兰特·罗素做出的，他在1899年或1901年定义了类似的定理。
[编辑] 来源
- Anellis, I.H. (1991). Drucker, Thomas "The first Russell paradox," Perspectives on the History of Mathematical Logic, 33-46, Cambridge, Mass.: Birkäuser Boston.
- Moore, G.H. and Garciadiego, A.. "Burali-Forti's paradox: a reappraisal of its origins". Historia Math 8: 319-350.
