Відношення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Відношенням (n-місним відношенням) в теорії множин називається підмножина декартового степеня Mⁿ деякої множини M. Кажуть також, що елементи a₁,a₂,...,a_n∈M знаходяться у відношенні R, якщо кортеж (a₁,a₂,...,a_n)∈R. Поняття відношення є певним теоретико-множинним узагальненням відомого з елементарної арифметики набору таких відношень, як "=" (дорівнює) або "<" (менше). Поняття відношення і операцій з ними в практичних застосуваннях грає ключову роль в побудові реляційних моделів систем управління базами даних.

В математичній літературі часто не розрізняють поняття відношення та відповідності між множинами (тобто, в такому випадку, відношення можуть мати місце між різними множинами). В цій енциклопедії поняття відношення на множині та відношення між множинами (відповідності між множинами) розрізняються, якщо інше не вказано окремо.

[ред.] Унарне відношення

При n=1 відношення R⊆M називають одномісним або унарним. Таке відношення часто називають також ознакою або характеристичною властивістю елементів множини M. Кажуть, що елемент a∈M має ознаку R, якщо a∈R і R⊆M.

[ред.] Бінарне відношення

Докладніше дивись статтю Бінарне відношення

Широко вживаними в математиці та прикладних науках є двомісні або бінарні відношення (тобто відношення з n=2)

Якщо елементи a,b∈M знаходяться в бінарному відношенні R (тобто визначена впорядкована пара (a,b)∈R), то це часто записують у вигляді aRb. Слід зауважити також, що бінарні відношення іноді розглядають, як окремий випадок відповідностей, а саме - як відповідності між однаковими множинами.

Приклади бінарних відношень на множині натуральних чисел N:

R₁ - відношення ≤ ("менше або дорівнює"), тоді 4 R₁ 19, 5 R₁ 15 і т.д. для будь-якого m ∈N
R₂ - відношення "ділиться на", тоді 4 R₂ 23, 49 R₂ 27, m R₂ 21 для будь-якого m∈N
R₃ - відношення "є взаємно простими", тоді 15 R₃ 38, 366 R₃ 3121, 1001 R₃ 3612
R₄ - відношення "складаються з однакових цифр", тоді 127 R₄ 4721, 230 R₄ 4302, 3231 R₄ 43213311