İntegral

Vikipedi, özgür ansiklopedi

f(x)'in a dan b'ye kadar olan integrali, y=f(x) fonsiyonunun a ile b arasındaki alanıdır.

İntegral en genel anlamıyla bir fonksiyon eğrisinin altında kalan alanı anlatır ya da başka bir deyişle fonksiyonun türevinin tersi olan bir fonksiyon elde edilmesini sağlar. İntegralin diğer bir tanımı da verilen bir f(x) fonksiyonunu türev kabul eden F(x) fonksiyonunun bulunması olarak yapılabilir. F(x) fonksiyonuna f(x) fonksiyonunun integrali veya ilkeli denir. İntegral, toplam kelimesinin (sum) baş harfi olan ∫ işareti ile gösterilir. Bu notasyon Leibniz tarafından tanımlanmıştır.

$F(x) = \int f(x)\,dx + C$

C bir sabiti gösterir ve integralin bir sabit farkı ile bulunabileceğine işaret eder.

Bir eksen takımında gösterilen f(x) fonksiyonunun altında kalan a < x < b aralığındaki alan, integral hesap yardımıyla hesaplanabilir. Bu amaçla alan küçük dikdörtgenlere bölünerek, bunların alanı hesap edilip toplanır. Dikdörtgen sayısı arttıkça toplam eğri altındaki alan alanın değerine yaklaşır ve integrale tam değer bulunmuş olur. Bu toplama Riemann toplamı denir. İntegralin Riemann anlamındaki tanımı Riemann toplamındaki bölüntü sayısı olan n in bir limit içerisinde sonsuza götürülmesiyle elde edilir.

$S = \lim_{\Delta x \to 0}\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x_{i} = \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$

Bu şekildeki integral belirli sınırlar arasında hesaplandığı için, belirli İntegral olarak isimlendirilir. sınırlar gözönüne alınmadan hesaplanan integrale ise belirsiz integral denir. Bazı durumlarda f(x) fonksiyonunun integrali F(x) bulunamaz. Bu durumda belirli integral sayısal olarak hesaplanır.

Uzunluk, alan ve hacimlerin hesaplanmasında integral hesabın önemli yeri vardır. Birden fazla değişkene bağlı fonksiyonlarda integral kavramı genişletilebilir ve bu durumda katlı integraller ortaya çıkar.

Riemann'dan sonra soyut kümelerin de integrallenebilmesi amacıyla Lebesgue integrali geliştirilmiştir.