เลขฟีโบนักชี

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

การจัดเรียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านเท่ากับจำนวนฟีโบนักชี

ในคณิตศาสตร์ เลขฟิโบนักชี (Fibonacci number) เป็นเลขในลำดับเลขฟิโบนักชี จำกัดความหมายด้วยสูตร:

$F_n := F(n):= \begin{cases} 0 & \mbox{if } n = 0; \\ 1 & \mbox{if } n = 1; \\ F(n-1)+F(n-2) & \mbox{if } n > 1. \\ \end{cases}$

โดยกฎว่าเลขลำดับแรกคือ 0 ลำดับที่สองคือ 1 และลำดับถัดไปคือผลบวกของเลขในสองลำดับก่อนหน้านี้ รายชื่อตัวเลขดังนี้คือลำดับเลขฟิโบนักชี เริ่มต้นจากลำดับแรก:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, ฯลฯ

ชื่อของจำนวนฟิโบนักชีตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีชื่อ ลีโอนาโดแห่งปิซา (Leonardo de Pisa) ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในนามฟีโบนักชี (Fibonacci) ผู้ค้นพบลำดับฟีโบนักชีในต้นศตวรรษที่ 13

[แก้] รูปปิด

เนื่องจากลำดับฟีโบนักชีเป็นลำดับที่นิยามด้วยความสัมพันธ์เวียนบังเกิดเชิงเส้น เราจึงสามารถหารูปปิดของจำนวนฟีโบนักชีได้ โดยสมการแสดงรูปปิดของจำนวนฟีโบนักชี มีชื่อเรียกว่า สูตรของบิเนต์ มีดังต่อไปนี้

$F\left(n\right) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}$

โดย $\varphi = (1 + \sqrt{5})/2 \approx 1.618$ เป็นตัวเลขที่รู้จักกันโดยทั่วไปว่าอัตราส่วนทองคำ

การพิสูจน์:

พิจารณาสมการพหุนาม $x 2 = x + 1$ เมื่อคูณทั้งสองข้างด้วย $x n - 1$ เราได้ว่า

$x^{n+1} = x^n + x^{n-1}\,$

ผลเฉลยของสมการ $x 2 = x + 1$ ได้แก่ $\varphi$ และ $1-\varphi$ ดังนั้น

$\varphi^{n+1} \,$	= $\varphi^n + \varphi^{n-1}\,$ และ
$(1-\varphi)^{n+1}\,$	= $(1-\varphi)^n + (1-\varphi)^{n-1}\,$

พิจารณาฟังก์ชัน

$F_{a,b}(n) = a\varphi^n+b(1-\varphi)^n$ เมื่อ

a

และ

b

เป็นจำนวนจริงใดๆ

เราได้ว่าฟังก์ชันเหล่านี้สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนบังเกิดที่ใช้นิยมเลขฟีโบนักชี

$F_{a,b}(n+1)\,$	$= a\varphi^{n+1}+b(1-\varphi)^{n+1}$
	$=a(\varphi^{n}+\varphi^{n-1})+b((1-\varphi)^{n}+(1-\varphi)^{n-1})$
	$=a{\varphi^{n}+b(1-\varphi)^{n}}+a{\varphi^{n-1}+b(1-\varphi)^{n-1}}$
	$=F_{a,b}(n)+F_{a,b}(n-1)\,$

เลือก $a=1/\sqrt 5$ and $b=-1/\sqrt 5$ เราได้ว่า

$F_{a,b}(0)=\frac{1}{\sqrt 5}-\frac{1}{\sqrt 5}=0=F(0)\,\!$

และ

$F_{a,b}(1)=\frac{\varphi}{\sqrt 5}-\frac{(1-\varphi)}{\sqrt 5}=\frac{-1+2\varphi}{\sqrt 5}=\frac{-1+(1+\sqrt 5)}{\sqrt 5}=1=F(1)$

เราสามารถใช้ข้อความนี้เป็นฐานของการพิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ของข้อความ $F a, b (n) = F (n)$ และใช้เอกลักษณ์ของ $F a, b$ พิสูจน์กรณีอุปนัยได้ เราจึงสามารถสรุปว่า

$F(n)={{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}$ สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ

n

ทุกตัว

เนื่องจาก $|1-\varphi|^n/\sqrt 5 < 1/2$ สำหรับทุกๆ $n>0\,\!$ เราจึงได้ว่า $F_n\,\!$ จึงเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ $\varphi^n/\sqrt 5$ ที่สุด หรือเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์โดยใช้ฟังก์ชันพื้น (floor function) ได้ว่า

$F(n)=\bigg\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt 5} + \frac{1}{2}\bigg\rfloor$

[แก้] ความสัมพันธ์กับอัตราส่วนทองคำ

โยฮันน์ เคปเลอร์ ค้นพบว่าอัตราส่วนของจำนวนฟีโบนักชีที่ติดกันลู่เข้าสู่อัตราส่วนทองคำ กล่าวคือ

$\frac{F(n+1)}{F(n)}$ ลู่เข้าสู่อัตราส่วนทองคำ $\varphi$

การพิสูจน์:

สำหรับจำนวนจริง $a \ne 0, b \ne 0$ เราได้ว่า

$\lim_{n\to\infty}\frac{F_{a,b}(n+1)}{F_{a,b}(n)}$	$=\lim_{n\to\infty}\frac{a\varphi^{n+1}-b(1-\varphi)^{n+1}}{a\varphi^n-b(1-\varphi)^n}$
	$=\lim_{n\to\infty}\frac{a\varphi-b(1-\varphi)(\frac{1-\varphi}{\varphi})^n}{a-b(\frac{1-\varphi}{\varphi})^n}$
	$= \varphi$ ,

เนื่องจาก $\left |{\frac{1-\varphi}{\varphi}}\right | < 1$ ดังนั้น $\lim_{n\to\infty}(\frac{1-\varphi}{\varphi})^n=0$

เนื่องจากจำนวนฟีโบนักชีคือ $F a, b$ เมื่อ $a = 1/\sqrt{5}$ และ $b = -1/\sqrt{5}$ ลิมิตของอัตราส่วนของเลขฟีโบนักชีที่ติดกันจึงสอดคล้องกับสมการข้างบนด้วย

[แก้] การนำไปใช้

จำนวนฟีโบนักชีมีความสำคัญในการวิเคราะห์ประสิทธิภาพของยูคลีเดียนอัลกอริทึมซึ่งใช้ในการหาตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองจำนวน โดยยูคลิเดียนอัลกอริทึมจะทำงานได้ช้าที่สุดถ้าข้อมูลเข้าเป็นจำนวนฟิโบนักชีสองตัวที่ติดกัน

ยูริ มาิทิยาเซวิช พิสูจน์ได้ว่าจำนวนฟิโบนักชีมีนิยามในรูปของผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์ ซึ่งความจริงข้อนี้นำไปสู่การแก้ปัญหาข้อที่ 10 ของฮิลแบร์ท

จำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถเขียนอยู่ในรูปของผลบวกของจำนวนฟิโบนักชีที่ไม่ติดกินได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น ความจริงข้อนี้เป็นที่รู้จักกันในนามทฤษฎีบทของเซคเคนดอร์ฟ การเขียนจำนวนเต็มในรูปดังกล่าวเรียกว่า การนำเสนอแบบเซคเคนดอร์ฟ

ตัวกำเนิดจำนวนสุ่มเทียมบางตัวใช้จำนวนฟิโบนักชีเป็นเครื่องมือในการสร้างเลขสุ่ม

จำนวนฟีโบนักชีถูกใช้กำหนดความยาวของส่วนประกอบต่างๆ ของงานศิลปะ และถูกใช้ในการเทียบเสียงเครื่องดนตรี ผลงานเพลงที่มีความเกี่ยวข้องกับจำนวนฟีโบนักชี ได้แก่ เพลงสำหรับเครื่องสาย เครื่องประกอบจังหวะ และซีเลสตา ของ เบลา บาท็อก, และเพลงแลเทอราทัส ของวงทูล ซึ่งมีจำนวนพยางค์ในวรรคของเนื้อร้องเท่ากับจำนวนฟีโบนักชี ("Black/Then/White are/All I see/In my infancy/Red and yellow then came to be")

ดึงข้อมูลจาก "http://th.wikipedia.org../../../%E0%B9%80/%E0%B8%A5/%E0%B8%82/%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%9F%E0%B8%B5%E0%B9%82%E0%B8%9A%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%81%E0%B8%8A%E0%B8%B5.html".

หมวดหมู่: จำนวน

We provide Linux to the World

เลขฟีโบนักชี

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

[แก้] รูปปิด

[แก้] ความสัมพันธ์กับอัตราส่วนทองคำ

[แก้] การนำไปใช้

Views

ป้ายบอกทาง

ค้นหา

ภาษาอื่น