ศักย์แม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

บทความนี้ต้องการ จัดรูปแบบ จัดหน้า แบ่งหัวข้อ จัดลิงก์ภายใน
คุณสามารถช่วยแก้ไขปัญหานี้ได้! โดยการกดที่ปุ่ม แก้ไข ด้านบน จากนั้นจัดหน้าให้เหมาะสม แบ่งหัวข้อ ทำลิงก์ภายในสำหรับคำสำคัญ
ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่ การแก้ไขหน้า การแก้ไขหน้าพื้นฐาน และ นโยบายวิกิพีเดีย

เวกเตอร์ศักย์แม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติเป็นเวกเตอร์สี่มิติ นิยามในหน่วยเอสไอ (SI units) เป็น

$\mathsf{A} := \left(A^\mu\right) =\left(\frac{\varphi}{c}, \mathbf{A} \right)$

ในหน่วยแบบเกาส์ (gaussian units) และหน่วยเฮฟวีไซด์-โลเร็นตซ์ (Heaviside-Lorentz units) นิยามเหมือนกันเป็น (ไม่มีค่า $\left.c\right.$ )

$\mathsf{A} := \left(A^\mu\right) =\left(\varphi, \mathbf{A} \right)$

โดย $\varphi$ เป็นศักย์สเกลาร์ (scalar potential) และ $\mathbf{A}$ เป็นศักย์เวกเตอร์ (vector potential)

It is useful to group the potentials together in this form because $Φ a$ is a Lorentz covariant vector, meaning that it transforms in the same way as the spacetime coordinates (ct, x) under transformations in the Lorentz group: rotations and Lorentz boosts. As a result, the length

$\Phi^a \Phi_a = - \phi^2 + c^2 \mathbf{A}^2$ $\left(\Phi^a \Phi_a = - \phi^2 + \mathbf{A}^2\right)$

is the same in every inertial reference frame.

Often, physicists employ the Lorenz gauge condition $\partial_\alpha \Phi^\alpha = 0$ to simplify Maxwell's equations as:

$\Box \Phi_a = \frac{1}{c \epsilon_0} J_a$ $\left( \Box \Phi_a = \frac{4 \pi}{c} J_a \right)$

where J is the four-current,

and

$\Box = \nabla^2 - \frac{ \partial^2} {c^2 \partial t^2}$ is the d'Alembertian operator.

In terms of the scalar and vector potentials, this last equation becomes:

$\Box \phi = \frac{\rho}{\epsilon_0}$ $\left(\Box \phi = 4 \pi \rho \right)$

$\Box \mathbf{A} = \mu_0 \mathbf{j}$ $\left(\Box \mathbf{A} = \frac{4 \pi}{c} \mathbf{j}\right)$

For a given charge and current distribution, ρ(x, t) and J(x, t), the solutions to these equations in SI units are

$\phi (\mathbf{x}, t) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int d^3 x^\prime \frac{\rho( \mathbf{x}^\prime, \tau)}{ \left| \mathbf{x} - \mathbf{x}^\prime \right|}$

$\mathbf{A} (\mathbf{x}, t) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int d^3 x^\prime \frac{\mathbf{j}( \mathbf{x}^\prime, \tau)}{ \left| \mathbf{x} - \mathbf{x}^\prime \right|}$ ,

where τ = t - |x-x′|/c is the retarded time. This is sometimes also expressed with ρ(x′, τ) = [ρ(x′, t)], where the square brackets are meant to indicate that the time should be evaluated at the retarded time. Of course, since the above equations are simply the solution to an inhomogeneous differential equation, any solution to the homogeneous equation can be added to these to satisfy the boundary conditions. These homogenous solutions in general represent waves propagating from sources outside the boundary.

When the integrals above are evaluated for typical cases, eg of an oscillating current (or charge), they are found to give both a magnetic field component varying as $r - 2$ (the induction field) and a component decreasing as $r - 1$ (the radiation field).