ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและทั่วไป เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ (four-current) $\mathsf{J}$ คือเวอร์ชั่นซึ่งเป็น โลเร็นตซ์โควาเรียนท์ (Lorentz covariant) ของเวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetic current density) $\mathbf{j}$

เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิตินิยามเหมือนกันในทุกระบบ โดย

$\mathsf{J} := \left(J^\mu\right) = \left( \rho c, \mathbf{j} \right)$

โดยที่

$\left.c\right.$ คืออัตราเร็วแสงในสุญญากาศ (speed of light in vacuum)

$\left.\rho\right.$ คือความหนาแน่นประจุ (charge density)

$\mathbf{j}$ คือความหนาแน่นกระแสแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetic current density)

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ คำกล่าวของกฎอนุรักษ์ประจุไฟฟ้า (electric charge conservation law) (เมื่อเขียนในรูปสมการจะเรียกว่าสมการความต่อเนื่อง (continuity equation)) คือว่า

"ไดเวอร์เจนซ์แบบโลเร็นตซ์อินวาเรียนท์ (Lorentz invariant divergence) ของ เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ $\mathsf{J}$ เป็นศูนย์"

$\boldsymbol{\partial}\cdot\mathsf{J} = \partial_\mu J^\mu = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{j} = 0$

เมื่อ $\boldsymbol{\partial}$ เป็นตัวดำเนินการ (operator) ถูกเรียกว่า เกรเดียนท์สี่มิติ (four-gradient) และกำหนดโดย $\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \boldsymbol{\nabla}\right)$ บางครั้งสมการความต่อเนื่องข้างบนถูกเขียนในรูป