Finita elementmetoden

Wikipedia

Finita Elementmetoden (FEM) är en numerisk metod för att lösa partiella differentialekvationer. Metoden grundar sig på Galerkins metod.

Finita elementmetoden har sitt ursprung i behoven att lösa komplexa elasticitets- och strukturanalysproblem inom flyg- och strukturmekanik. Dess utveckling började med arbeten av A. Hrennikoff (1941) och R. Courant (1942) . Fastän tillvägagångssättet var olika hade de en viktig sak gemensam: uppdelandet av ett kontinuerligt område till en uppsättning diskreta delområden. Hrennikoffs arbete delar upp området genom att använda galleranalogi medan Courant använder finita triangulära delområden för lösning av andra ordningens differentialekvationer som kommer från problemet med vridning av en cylinder.

Metoden fick en ordentlig matematisk grund 1973 i och med publiceringen av Strang och Fixs An Analysis of The Finite Element Method, och har sedan dess generaliserats till numerisk modellering av fysiska problem inom många ingenjörsområden, exempelvis elektromagnetism och vätskedynamik.

Utvecklandet av finita elementmetoden inom strukturmekanik baseras oftast på någon energiprincip, exempelvis virtuellt arbete.

Matematiskt används metoden för att finna approximativa lösningar till partiella differentialekvationer (PDE) och integralekvationer som värmeledningsekvationen. Endera elimineras differentialekvationen helt eller så ersätts PDE med en ordinär differentialekvation, vilken är lösbar.

Vid lösandet av partiella differentialekvationer är den huvudsakliga utmaningen att skapa en ekvation vilken approximerar den partiella differentialekvationen men som är numeriskt stabil, vilket betyder att fel i indata inte förstoras så att resultatet blir oanvändbart. Det finns flera sätt att göra detta och finita elementmetoden är bra för att lösa partiella differentialekvationer på problem med komplexa ytor, exempelvis bilar, eller när vissa delar av området kräver större noggrannhet än andra. Vid väderprognoser är det viktigare att ha korrekt prognos över land än till havs, vilket är möjligt med finita elementmetoden.

Det finns två pricipiellt olika lösningsmetoder för finita element. Implicit och explicit. Den implicita metoden lämpar sig bäst för problem med små olinjäriteter och stora krav på noggrannhet. Lösningen är ovillkorligt stabil och steglängden påverkar endast lösningens noggrannhet. Denna metod har större krav på RAM-minne men ger å andra sidan noggrannare resultat. Exempel på analyser som lämpar sig för implicit lösning är statiska spänningsanalyser. Den explicita metoden lämpar sig mer för problem med stora olinjäriteter (materialmodeller, stora deformationer, kontaktytor etc.). Lösningen är villkorligt stabil av steglängden och för stora inkrement genererar felaktiga resultat. Fördelen med denna metod är att man lättare får konvergens vid stora olinjäriteter, beräkningen skalar bättre på många processorer (SMP eller kluster) och är inte lika minneskrävande. Exempel på analyser som använder explicit lösare är krock-, islag- och explosionsanalyser.