Trójkąt Pascala

Z Wikipedii

Trójkąt Pascala jest to trójkątna tablica liczb:

 0                     1
 1                   1   1
 2                 1   2   1
 3               1   3   3   1
 4             1   4   6   4   1
 5           1   5   10  10   5   1
 6         1   6   15  20  15   6   1
 7       1   7   21  35  35   21  7   1
 8     1   8   28  56  70  56   28  8   1
 9   1   9  36   84  126 126  84  36  9   1
      . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Na bokach trójkąta są 1, a każda liczba nowego wiersza powstaje jako suma dwóch bezpośrednio znajdujących się nad nią. Liczby stojące w n-tym wierszu to kolejne współczynniki dwumianu Newtona – rozwinięcia (a+b)ⁿ. Na przykład:

(a+x)³=a³+3a²x+3ax²+x³ w trzecim wierszu trójkąta mamy 1, 3, 3, 1.

(a+b)⁵=1a⁵b⁰+5a⁴b¹+10a³b²+10a²b³+5a¹b⁴+1a⁰b⁵

Inaczej: licząc miejsca w wierszu od zera, liczba stojąca na miejscu k w wierszu n jest równa .
W wierszu 5 na miejscu 2 stoi 10 co jest właśnie równe .

Uważa się, że trójkąt ten został odkryty na przełomie XI i XII w. przez Chińczyków i niezależnie przez Omara ChajjamaXI. W XVII w. matematyk francuski B. Pascal połączył studia nad prawdopodobieństwem z tym trójkatem, osiagając tak znakomite wyniki, że trójkąt ten nazwany został trójkątem Pascala.

Spis treści 1 Programy obliczające 2 Własności trójkąta 3 Ciekawostka 3.1 Obliczanie 11n 4 Zobacz też

[edytuj] Programy obliczające

Przykład prostej (ale nieekonomicznej) funkcji rekurencyjnej obliczającej element trójkąta Pascala w języku Pascal. Wzór wynika z definicji rekurencyjnej elementów trójkata.

function pascal(n,k:integer):integer;
begin
  if (k=0) or (k =n) then
     pascal := 1
  else
     pascal := pascal(n-1, k-1) + pascal(n-1,k);
end;

A oto przykład programu w C++ wypisującego na ekranie trójkąt Pascala dla zadanej liczby rzędów:

#include <iostream>
#include <stdlib.h>

//----------------------------------------------------------------
using namespace std;
// Deklaracja zmiennych
int rzedow;
int wiersz[ 34];

int main(int argc, char* argv[])
{
        cout << "Ile rzedow ?" << endl;
        cin >> rzedow;
        cout << endl;

        // jeśli typ int jest 32-bitowy, to wierszy
        // o numerach większych od 33 już nie policzymy:
        // max: (33 po 16) = 1166803110 = 0x458C00A6

        if( rzedow > 34)
            rzedow = 34;

        for (int i = 0; i < rzedow ; i++)
        {
                int j;

                wiersz[ i] = 1;
                for (j = i-1; j > 0; j--)
                        wiersz[ j] += wiersz[ j-1];

                for (j = 0; j <= i; j++)
                {
                        cout << wiersz[ j] << " ";
                }

                cout << endl;
        }

        return 0;
}

//----------------------------------------------------------------

[edytuj] Własności trójkąta

• Na skrajnych bocznych (zerowy) rzędach trójkąta są jedynki.
• W kolejnym (pierwszym) skrajnym bocznym rzędzie są kolejne liczby naturalne (1, 2, 3, 4, ...).
• W drugim rzędzie różnice między sąsiednimi liczbami są kolejnymi liczbami naturalnymi (są to liczby trójkątne). Liczby trójkatne podają liczbę okręgów ułożonych w kształt trójkąta (1, 3, 6, 10, ...).
• W trzecim liczby piramidalne, podają liczbę kulek ułożonych czworościan foremny (1, 4, 10, 20, 35)
• W czwartej liczbę kul w "czworościanie" w przestrzeni czterowymiarowej.
• Wracając do rzędu zerowego i uogólniając możemy policzyć liczbę elementów trójkącie w przestrzeni jedno i zero wymiarowej.
• Suma liczb w poziomym rzędzie to kolejne potęgi liczby 2.
• Po usunięciu z trójkąta wszystkich liczb parzystych pozostałe liczby nieparzyste układają się w geometryczny wzór trójkąta Sierpińskiego:

 0                     1                                      #
 1                   1   1                                  #   #
 2                 1   2   1                              #       #
 3               1   3   3   1                          #   #   #   #
 4             1   4   6   4   1                      #               #
 5           1   5  10  10   5   1                  #   #           #   #
 6         1   6  15  20  15   6   1              #       #       #       #
 7       1   7  21  35  35  21   7   1          #   #   #   #   #   #   #   #
 8     1   8  28  56  70  56   28  8   1      #                               #
 9   1   9  36  84  126 126 84  36   9   1  #   #                           #   #

[edytuj] Ciekawostka

Jak z pomocą trójkąta Pascala obliczać 11 do dowolnej potęgi:

[edytuj] Obliczanie 11ⁿ

• Weź n-ty rząd z trójkąta Pascala.
• Wypisz liczby w słupku tak jak przy mnożeniu pisemnym (z przesunięciem o jedno miejsce w lewo).
• Dodaj kolumnami.

Przykład:

Obliczmy 11⁵ - piąty rząd trójkąta Pascala wygląda następująco: 1, 5, 10, 10, 5, 1, co zapisujemy:

              1
             5
           10
          10
          5
+        1
=        161051

i po sumowaniu w kolumnach otrzymujemy wynik.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• kombinacja,
• symbol Newtona,
• dwumian Newtona,
• Pascal.