Płaszczyzna fazowa

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Płaszczyzna fazowa:

Mamy dany układ równań:

$\left \{ \begin{matrix} dx/dt=f(x,y)\\ dy/dt=g(x,y) \end{matrix} \right.$

z zadanym warunkiem początkowym:

$\left \{ \begin{matrix} x(0)=x_0\\ y(0)=y_0 \end{matrix} \right.$

Rozwiązując ten układ otrzymamy dwie funkcje:

$\left \{ \begin{matrix} x(t)=p(t)\\ y(t)=q(t) \end{matrix} \right.$

spełniające warunek początkowy. Możemy narysować wykres funkcji $x (t)$ i $y (t)$ osobno. Można jednak wyrugować parametr $t$ i uzyskać wykres funkcji w układzie współrzędnych $(x, y)$ , czyli w płaszczyźnie fazowej.

Na przykład rozwiązując układ $\left \{ \begin{matrix} dx/dt=y\\ dy/dt=-x \end{matrix} \right.$

z zadanym warunkiem początkowym $\left \{ \begin{matrix} x(0)=0\\ y(0)=1 \end{matrix} \right.$

otrzymamy następujące funkcje $\left \{ \begin{matrix} x(t)=sint\\ y(t)=cost \end{matrix} \right.$

Podnosząc je do kwadratu i sumując otrzymamy „jedynkę trygonometryczną”: $x 2 (t) + y 2 (t) = s i n 2 t + c o s 2 t = 1$ , a zatem w płaszczyźnie fazowej otrzymamy rozwiązanie – trajektorie fazową, która będzie okręgiem o środku w punkcie $(0,0)$ i promieniu 1 i przechodzącą przez punkt początkowy $(0,1)$ .

Wszystkie trajektorie tego układu, przechodzące przez różne punkty początkowe, stanowią płaszczyznę fazową.

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../p/%C5%82/a/P%C5%82aszczyzna_fazowa.html"

Kategoria: Matematyka

We provide Linux to the World

Płaszczyzna fazowa

Z Wikipedii

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj