Moduł (matematyka)

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy struktury algebraicznej. Zobacz też: wartość bezwzględna liczby rzeczywistej, moduł liczby zespolonej.

Moduły – ważna klasa struktur algebraicznych, będąca z jednej strony jest uogólnieniem pojęcia grupy abelowej, z drugiej zaś przestrzeni liniowej. Dzięki temu teorię modułów można z powodzeniem stosować w wielu działach algebry i, ogólniej, matematyki.

[edytuj] Definicja

Niech (M, + ,0) będzie grupą abelową, zaś R pierścieniem. Mówimy, że M jest modułem nad R, jeśli istnieje funkcja gdzie taka, że spełnione są następujące aksjomaty teorii modułów:

• r(m₁ + m₂) = rm₁ + rm₂,
• (r₁ + r₂)m = r₁m + r₂m,
• r₁(r₂m) = (r₁r₂)m,
• 1m = m.

gdzie , zaś 1 jest elementem neutralnym mnożenia w pierścieniu R.

[edytuj] Przykłady

• Grupy abelowe. Jeśli G jest grupą abelową, to G jest modułem nad pierścieniem liczb całkowitych . Wtedy dla , gdzie łatwo sprawdzić, że spełnione są aksjomaty teorii modułów.

• Przestrzenie liniowe. Jeśli V jest przestrzenią liniową nad ciałem K, to V jest modułem nad K: , gdzie . Odwrotnie, każdy moduł nad ciałem K jest przestrzenią liniową nad K.

[edytuj] Zobacz też

• Przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• Pierścień,
• Grupa,
• Grupa abelowa,