Kwantyl
Z Wikipedii
Kwantyl - jedno z podstawowych pojęć statystyki i rachunku prawdopodobieństwa.
Spis treści |
[edytuj] Definicja formalna
Kwantylem rzędu p, gdzie 0 ≤ p ≤ 1, w rozkładzie empirycznym PX zmiennej losowej X nazywamy każdą liczbę xp, dla której spełnione są nierówności
oraz
W szczególności, kwantylem rzędu p jest taka wartość xp zmiennej losowej, że wartości mniejsze lub równe od xp są przyjmowane z prawdopodobieństwem co najmniej p, zaś wartości większe lub równe od xp są przyjmowane z prawdopodobieństwem co najmniej 1-p.
[edytuj] Nazwy poszczególnych kwantyli
Kwantyl rzędu 1/2 to inaczej mediana (Ściślej zależy to od definicji mediany, przy jej obliczaniu z próbki o parzystej liczbie elementów często stosuje się średnią arytmetyczną dwóch środkowych elementów, szczegóły są w artykule mediana).
Kwantyle rzędu 1/4, 1/2, 3/4 są inaczej nazywane kwartylami.
Kwantyle rzędu 1/10, 2/10,..., 9/10 to inaczej decyle.
Kwantyle rzędu 1/100, 2/100,..., 99/100 to inaczej percentyle.
[edytuj] Przykład
Iloraz inteligencji, mierzony według skali Cattela jest zmienną losową o rozkładzie w przybliżeniu normalnym, wartości oczekiwanej równej 100 i odchyleniu standardowym równym 15.
Przypuśćmy, że zmierzyliśmy inteligencję 20 osób (to trochę za mała próbka do analizy statystycznej, ale większy przykład nie byłby czytelny). Uzyskaliśmy następujące 20 wyników (w kolejności od najmniejszego do największego): 74, 80, 80, 85, 92, 94, 97, 98, 98, 100, 101, 101, 104, 104, 106, 109, 112, 115, 128, 137
Kwantylem rzędu 0.25 (czyli pierwszym kwartylem) jest tutaj liczba 92, gdyż dokładnie pięć próbek (czyli 1/4 z populacji 20 próbek) ma wartość mniejszą lub równą 92.
[edytuj] Pokrewne pojęcia
Różnica między kwantylem rzędu 3/4 (trzecim kwartylem) a kwantylem rzędu 1/4 (pierwszym kwartylem) zwana jest rozstępem kwartylnym. Jest to miara rozrzutu zmiennej, podobna do odchylenia standardowego, jednak bardziej odporna na elementy odstające.
W statystyce do sprawdzania, czy dana zmienna losowa ma dany rozkład (np. rozkład normalny), używa się tzw. wykresów kwantyl-kwantyl, w których na jednej osi umieszczane są kwantyle rozkładu badanej zmiennej, a na drugiej osi kwantyle porównywanego rozkładu (przy estymowanych jego parametrach). Jeśli zmienna ma idealnie zadany rozkład, wykres ten przedstawia dokładnie prostą. Odchyłki od prostej wskazują na określone typy odchylenia np. skośny, spłaszczony, itp.). Niektóre testy statystyczne, np. test Shapiro-Wilka oparte są na szacowaniu średniej odległości wykresu kwantyl-kwantyl od prostej.