Algorytm całkowania wstecznego

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Algorytm całkowania wstecznego to podobnie jak algorytm linearyzacji statycznej sposób na sterowanie manipulatorem elastycznym.

Spis treści

1 Model
2 Nowe współrzędne
3 Sterowanie
4 Bibliografia

[edytuj] Model

Model manipulatora zapisany jest jako:

$M_1 q^{''}_1+Cq^{'}_1+D_1+K(q_1-q_2)=0$

$Iq^{''}_2+K(q_2-q_1)=u$

[edytuj] Nowe współrzędne

Tak jak w algorytmie linearyzacji statycznej wprowadzamy nowe współrzędne:

x 1 = q 1

$x_2=q^'_1$

x 3 = q 2

$x_4=q^'_2$ ,

ale dodajemy także współrzędne związane z trajektorią:

x 1 d = q 1 d

$x_{2d}=q^'_{1d}$

x 3 d = q 2 d

$x_{4d}=q^'_{2d}$ .

Przekształcamy model manipulatora tak, aby wyodrębnić $q 2$ , a następnie przedstawiamy go w postaci zawierającej współrzędne zadane:

$M_1q^{''}_{1d}+Cq^{'}_{1d}+D_1+Kq_{1d}=K q_{2d}$

$q_{2d} = K^{-1}M_1q^{''}_{1d} + K^{-1}Cq^{'}_{1d} + K^{-1}D_1 + q_{1d}$ .

Na koniec wyznaczamy wzory na błąd oraz prędkość błędu:

x i - x i d = e i

gdzie

i = 1,2,3,4

$e^'_1=e_2$

$e^'_2=F_4(e_1,e_2,t)+F_2(e_1,t)e_3$

$e^'_3=e_4$

$e^'_4=F_5(e_1,e_3,t)+I^{-1}u$

[edytuj] Sterowanie

Jak widać sterować będziemy błędami, a nie wartością położeń. Jest to najbardziej kłopotliwa część tego algorytmu. Wykonuje się ją w czterech krokach. Poniżej przedstawiony zostanie tylko pierwszy krok oraz rozwiązania poszczególnych kroków.

Układ traktuje się jako strukturę kaskadową. Dlatego też obliczenia zaczyna się od pierwszego błędu:

$e^'_1=e_2$ .

Aby błąd malał do zera wymagane jest spełnienie warunku $e^'_1<0$ . Z tego powodu najlepszym rozwiązaniem jest:

$e^'_1=-R_0e_1$ , gdzie

R 0 > 0

Następnie konstruuje się funkcję Lapunowa:

$V_1(e_1)=\frac{1}{2}e^T_1e_1$ i wyznacza się jej pochodną:

$V^'_1(e_1)=-e^T_1R_0e_1$ .

Jak widać pochodna będzie mniejsza lub równa zero. Uzyskaliśmy globalną eksponencjalną stabilność.

W kroku drugim rozpatrywane będą pierwsze oraz drugie równanie:

$e^'_1=e_2$

$e^'_2=F_4+F_2e_3$

Od tego kroku konstruować będziemy jedynie funkcje Lapunowa w postaci sumy poprzedniej funkcji oraz nowej formy kwadratowej.

$V_2(e_1,e_2)=V_1(e_1)+\frac{1}{2}(e_2+R_0e_1)^T(e_2+R_0e_1)$ .

Uzyskujemy wzór na trzeci błąd:

$e_3=F^{-1}_2(-R_1e_2-R_1R_0e_1-F_4-R_0e_2)=-H(e_1,e_2,t)$ .

W kroku trzecim wyznaczamy wzór na $e 4$ :

e 4 = - R 2 (e 3 + H) - H' = - H 2

W kroku czwartym i ostatnim poszukiwane sterowanie:

$u=-IF_5-IH^'_2-IR_3(e_4+H_2)$ .

Wystarczy rozwinąć wzór do pełnej postaci i mamy przepis na sterowanie manipulatorem elastycznym. Dowód na stabilność rozwiązania opiera się na lemacie Barbalata.

[edytuj] Bibliografia

K.Tchoń, A.Mazur, I.Dulęba, R.Hossa, R.Muszyński - Manipulatory i roboty mobilne: Modele, planowanie ruchu, sterowanie. Warszawa 2000r. (ISBN 83-7101-427-9)

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../a/l/g/Algorytm_ca%C5%82kowania_wstecznego.html"

Kategorie: Robotyka • Algorytmy