디리클레 합성곱
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디리클레 합성곱(dirichlet convolution) 혹은 디리클레 포갬은 수론적 함수의 집합에서 정의되는 이항연산으로, 수론에서 중요하게 다뤄진다.
f, g가 수론적 함수 (즉, 자연수에서 복소수로의 함수)일 때, f, g의 디리클레 포갬 f * g는 다음과 같이 정의되는 수론적 함수이다.
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(f * g)(n) = ∑ f(d)g(n / d) d | n
여기서 덧셈은 n의 모든 양의 약수 d에 대해 이루어진다.
이 연산의 일반적인 성질을 몇가지 나열해 보면:
- 닫혀있다: f와 g가 모두 곱셈적이라면, f * g도 곱셈적이다. (주의: 그러나 두 완전 곱셈적인 함수의 포갬은 완전 곱셈적이 아닐 수 있다.)
- 교환법칙: f * g = g * f
- 결합법칙: (f * g) * h = f * (g * h)
- 분배법칙: f * (g + h) = f * g + f * h
- 항등원: f * ε = ε * f = f, 여기서 ε은 n = 1 에서 ε(n) = 1, n > 1 에서 ε(n) = 0 으로 정의되는 함수.
- 역원: 모든 곱셈적 함수 f에 대해, 어떤 곱셈적 함수 g가 존재하여 f * g = ε 를 만족한다.
덧셈과 디리클레 포갬으로 수론적 함수의 전체집합은 ε을 곱셈에 대한 항등원으로 하는 가환환을 이루고, 이를 디리클레 환(dirichlet ring)이라 부른다. 이 환의 unit은 f(1) ≠ 0 을 만족하는 f들이다.
나아가, 곱셈적 함수의 집합은 디리클레 포갬과 ε을 항등원으로 하는 가환군(abelian group)을 이룬다. 곱셈적 함수 항목에 몇가지 중요한 곱셈적 함수간의 포갬으 관계식의 예를 찾아볼 수 있다.
f가 수론적 함수이면, L-급수(L-series)는 다음과 같이 정의된다. 급수가 수렴하는 복소수 s에 대해,
L-급수의 곱은 디리클레 포갬과 다음 관계가 있다. 좌변이 존재하는 모든 s에 대해,
- L(f,s)L(g,s) = L(f * g,s)
위 관계식은 L-급수를 푸리에 변환과 비교해 보면, 포갬 정리(convolution theorem)과 긴밀하다.
