Varietà affine

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In geometria algebrica, una varietà affine è il sottoinsieme di uno spazio affine $n$ -dimensionale su un campo algebricamente chiuso $k$ caratterizzato dall'annullarsi simultaneo di tutti i polinomi di un sottoinsieme di $k[x_1, \dots, x_n]$ . Un aperto (secondo la topologia di Zariski) di una varietà affine è detto varietà quasi affine.

[modifica] Morfismi tra varietà affini

Una funzione regolare per una varietà affine $X$ è una funzione $f\colon X \to k$ tale che per ogni punto $P \in X$ esiste un intorno del punto in cui $f (x) = g (x) / h (x)$ , dove $g, h \in k[x_1, \dots, x_n]$ . L'insieme di tutte le funzioni regolari su $X$ è l'anello $\mathcal{O}(X)$ .

Un morfismo tra due varietà è una funzione $\phi\colon X \to Y$ che induce un morfismo di anelli $\phi^\star\colon \mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)\colon f \mapsto f\circ \phi$ .

[modifica] Algebra affine

Dato un insieme qualsiasi di polinomi, la varietà affine che definiscono è la stessa definita dall'ideale $I (X)$ generato da questi polinomi. Si può quindi definire l'algebra affine di una varietà affine $X$ come la $k$ -algebra finitamente generata $A(X) = k[x_1, \dots, x_n] / I(X)$ .

Si dimostra che due varietà affini sono isomorfe se e solo se le loro algebre affini sono isomorfe. Inoltre se si associa ad ogni varietà affine la propria algebra e ad ogni morfismo $φ$ il morfismo $\phi^\star$ , si ottiene un funtore contravariante tra la categoria delle varietà affini e quella delle $k$ -algebre finitamente generate.

[modifica] Esempi

Per la noetherianità dell'anello dei polinomi, ci si può ridurre a considerare un numero finito di polinomi.
Per definizione, una varietà affine è chiusa secondo la topologia di Zariski, ma in quanto intersezione finita di luoghi di zeri, è chiusa anche per la topologia standard se $k = \mathbb{C}$ o $k = \R$ .
Le varietà affini formano una categoria sia con i morfismi di varietà, sia con le mappe razionali.