Trasferimento alla Hohmann

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Trasferimento alla Hohmann in cui $r_2\,\!$ > $r_1\,\!$

In astronautica e in ingegneria aerospaziale, il trasferimento alla Hohmann rappresenta una manovra orbitale che permette ad un satellite artificiale di trasferirsi da un'orbita circolare ad una seconda orbita circolare coplanare e cofocale alla prima. È una manovra monoellittica (in quanto nel trasferimento si percorre una semiellisse) bitangente (in quanto l'ellisse è tangente sia all'orbita iniziale che a quella finale, nei suoi punti absidali). È il trasferimento con il più basso consumo di delta-v se il raggio dell'orbita finale è minore di circa dodici volte il raggio dell'orbita iniziale; altrimenti è più conveniente un trasferimento biellittico bitangente. Prende il nome dello scienziato tedesco Walter Hohmann, che la ideò nel 1925.

Il tipico utilizzo del trasferimento alla Hohmann è quello che porta un satellite da una orbita terrestre bassa (LEO, Low Earth Orbit) ad una geostazionaria (GEO, Geostationary orbit). La manovra si compie in circa 5 ore, ed è chiamata GTO (Geo Transfer Orbit). Sia l'orbita iniziale che quella finale sono circolari, mentre quella che permette il trasferimento è un'orbita ellittica, coplanare e cofocale alle due circolari, che è tangente alle stesse. Nel caso del trasferimento GTO, con un primo delta-v positivo il satellite si posiziona istantaneamente al perigeo dell'orbita ellittica, mentre con un secondo delta-v positivo dato all'apogeo dell'orbita di trasferimento ellittica (punto 3 della figura) viene circolarizzata l'orbita.

[modifica] Caratteristiche

È una manovra cofocale e coplanare: le tre coniche hanno come fuoco il pianeta attrattore;
È una manovra monoellittica: l'orbita di trasferimento è una semiellisse di semiasse $a\,\!$ ;
È una manovra bitangente: i Delta-v impulsivi sono forniti dall'apparato propulsivo nei due punti absidali dell'ellisse di trasferimento, quindi le tre orbite sono tangenti;

[modifica] Calcolo del trasferimento

Si considera il trasferimento alla Hohmann tra un'orbita iniziale di raggio $r_1\,\!$ ed un'orbita finale di raggio $r_2\,\!$ . Può essere sia $r_2\,\!$ maggiore di $r_1\,\!$ (come ad esempio il trasferimento da un'orbita di parcheggio ad un'Orbita geostazionaria) che $r_1\,\!$ maggiore di $r_2\,\!$ . La velocità sulla prima orbita circolare è in modulo, in ogni suo punto,

$v_1 = \sqrt{\mu\!\, \over r_1}$

dove $\mu\$ è la Costante gravitazionale planetaria dell'attrattore. Dall'equazione di Conservazione dell'energia orbitale specifica si può ricavare il modulo della velocità nello stesso punto, ma riferito all'orbita ellittica di trasferimento:

$v_{t1} = \sqrt{\mu \left( \frac{2}{r_1} - \frac{2}{r_1+r_2} \right)}$

La differenza tra il valore della velocità di trasferimento e la velocità dell'orbita circolare fornisce il valore del delta-v impulsivo

$\Delta v_A = \sqrt{\frac{\mu}{r_1}} \left( \sqrt{\frac{2 r_2}{r_1+r_2}} - 1 \right)$ ,

Allo stesso modo, percorsa la semiellisse di trasferimento, occorre fornire un secondo delta-v impulsivo per circolarizzare l'orbita finale su $r_2\,\!$ , ovvero

$\Delta v_B = \sqrt{\frac{\mu}{r_2}} \left( 1 - \sqrt{\frac{2 r_1}{r_1+r_2}}\,\! \right)$

Il valore dei delta-v risulterà positivo se l'orbita si porta in una circolare di raggio più grande rispetto alla prima, mentre sarà negativo (in direzione) se avviene l'opposto. Naturalmente in entrambi i casi i delta-v sono forniti dall'impianto propulsivo, ed il costo della manovra risulterà la somma dei moduli dei due delta-v.

$\|\Delta v_H\|\ = \|\Delta v_A\|\ + \|\Delta v_B\|\$