Teorema di Schwartz
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Il teorema di Schwartz è un importante teorema in analisi matematica, che afferma che (sotto opportune ipotesi) l'ordine delle derivate parziali in una derivata mista di una funzione a variabili reali è ininfluente.
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[modifica] Il teorema in due variabili
Sia
una funzione in due variabili, definita su un aperto Ω del piano . Se f ammette derivate seconde miste continue
- ,
allora queste coincidono in ogni punto p dell'aperto Ω.
In altre parole, invertendo l'ordine di derivazione di una doppia derivazione parziale mista, il risultato non cambia.
[modifica] Esempio
Sia
- f(x,y) = x2y2 + y3x.
Entrambe le derivate parziali prime sono continue. Risulta rispettivamente
- fx = 2xy2 + y3,fy = 2yx2 + 3xy2;
queste due funzioni sono ulteriormente derivabili e le derivate miste sono
- fxy = 4xy + 3y2,fyx = 4xy + 3y2.
Quindi fxy = fyx.
[modifica] Conseguenze
Se una funzione ha derivate parziali continue, la sua matrice hessiana è simmetrica.
[modifica] Necessità delle ipotesi
L'ipotesi di continuità delle derivate parziali è in effetti necessaria. Si consideri ad esempio la funzione
Abbiamo
Quindi
e dunque .
Infatti in questo esempio manca la continuità di entrambe le derivate miste.