Serie di Bell
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In matematica, per serie di Bell si intende una serie formale di potenze utilizzata per studiare le proprietà delle funzioni aritmetiche moltiplicative. Questo genere di serie è stato introdotto e sviluppato da Eric Temple Bell.
Consideriamo una funzione aritmetica f e un numero primo p, si definisce come serie di Bell di f modulo p la serie formale di potenze fp(x) espressa come
.
Vale un teorema di unicità. Date due funzioni moltiplicative f e g, accade che f = g se e solo se
per tutti i primi p.
Vale anche un teorema di moltiplicazione: Per ogni coppia di funzioni aritmetiche f e g, denotiamo con h = f * g la loro convoluzione di Dirichlet. Allora per ogni numero primo p si ha
.
In particolare, questo rende agevole trovare la serie di Bell di una serie di una inversa di Dirichlet.
Se f è una funzione completamente moltiplicativa, allora
.
[modifica] Esempi
La seguente tabella presenta le funzioni aritmetiche più note, ciascuna seguita dalla sua serie di Bell.
- Funzione di Moebius
. - Totient di Eulero
. - Funzione identità
. - Funzione di Liouville
. - Funzione potenza
. - Funzione divisore
.
[modifica] Bibliografia
- Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Chapter 2.16).
