Potenza di due
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In matematica, una potenza di due è ognuno degli interi potenze del numero due; in altre parole, due moltiplicato un certo numero di volte per sé stesso. Una potenza di due è anche 1, in quanto 20 = 1. Scritta nel sistema binario, una potenza di due assume sempre la forma 10000...0, somigliando alle potenze di 10 nel sistema decimale.
Visto che il due è la base del sistema binario, le potenze di due sono importanti in informatica. In particolare, 2n è il numero di modi in cui possono essere disposti i bit in un intero di lunghezza n, quindi i numeri che sono inferiori di uno ad una potenza di due indicano il limite massimo degli interi nei computer e nei linguaggi di programmazione (uno di meno in quanto è 0, non 1, il limite inferiore). Di conseguenza, numeri del genere sono frequenti nel software. Ad esempio, nel videogioco La leggenda di Zelda per il Nintendo Entertainment System ad 8 bit, si potevano raccogliere fino ad un massimo di 255 rupie: il numero veniva registrato in uno spazio di un byte, che è lungo 8 bit, e quindi il valore massimo era 28-1 = 255.
Le potenze di due misurano anche la memoria dei computer. Un nibble equivale a una quaterna (22) di bit, un byte equivale ad otto (23) bit, mentre un kilobyte (o più precisamente un kibibyte) equivale a 1.024 (210) byte. Quasi tutti i registri dei processori hanno dimensioni che sono potenze di due (32 nella maggioranza dei personal computer attuali).
Le potenze di due si possono trovare anche in molti altri tecnicismi. In molti hard disk almeno uno fra la dimensione dei settori, il numero di settori per traccia ed il numero di tracce per piatto è una potenza di due. La dimensione logica dei blocchi è quasi sempre una potenza di due.
In molte situazioni, come nel caso delle risoluzioni video, si trovano numeri che non sono potenze di due, ma possono essere scritte come la somma di due o tre potenze di due, o di potenze di due meno uno. Ad esempio, 640 = 512 + 128 e 480 = 32 × 15. Detto in altro modo, si tratta di numeri con scritture binarie molto semplici (in termini specifici, scritture con bassa complessità di Kolmogorov).
Nell'ambito della matematica le potenze di due forniscono i numeri dei sottoinsiemi degli insiemi finiti: più precisamente 2n è il numero dei sottoinsiemi di un insieme di n elementi. Se si distinguono i sottoinsiemi con 0, 1, 2, ..., n elementi si arriva alla seguente significativa identità combinatoria:
In teoria dei numeri un numero primo che è minore di uno rispetto ad una potenza di due è chiamato numero primo di Mersenne. Ad esempio, il numero primo 31 è un primo di Mersenne in quanto 25-1 = 31.
Indice |
[modifica] Le prime quaranta potenze di due
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2 |
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2 048 |
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2 097 152 |
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2 147 483 648 | |||
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4 |
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4 096 |
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4 194 304 |
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4 294 967 296 | |||
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8 |
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8 192 |
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8 388 608 |
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8 589 934 592 | |||
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16 |
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16 384 |
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16 777 216 |
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17 179 869 184 | |||
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32 |
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32 768 |
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33 554 432 |
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34 359 738 368 | |||
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64 |
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65 536 |
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67 108 864 |
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68 719 476 736 | |||
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128 |
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131 072 |
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134 217 728 |
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137 438 953 472 | |||
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256 |
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262 144 |
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268 435 456 |
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274 877 906 944 | |||
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512 |
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524 288 |
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536 870 912 |
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549 755 813 888 | |||
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1 024 |
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1 048 576 |
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1 073 741 824 |
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1 099 511 627 776 |
[modifica] Potenze di due i cui esponenti sono potenze di due
Poiché le moderne celle di memoria e registri hanno spesso un numero di bit che è una potenza di due, le potenze di due che si trovano più frequentemento sono quelle in cui anche l'esponente è a sua volta una potenza di due:
| 2 | = | 21 |
| 4 | = | 22 |
| 16 | = | 24 |
| 256 | = | 28 |
| 65 536 | = | 216 |
| 4 294 967 296 | = | 232 |
| 18 446 744 073 709 551 616 | = | 264 |
| 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456 | = | 2128 |
| 115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 913 129 639 936 | = | 2256 |
Molti di questi numeri indicano il numero di valori rappresentabili usando i comuni tipi di dato. I primi minicomputer degli anni 1970 disponevano di indirizzi di soli 16 bit e le loro memorie centrali non potevano superare i 64 kibibyte (allora si scriveva 64K). Negli anni 1980 cominciò a diventare comune la possibilità di servirsi di una word di 32 bit (4 byte) per rappresentare 232 valori distinti, che possono essere interpretati come semplici liste di bit, o come più comunemente accade come un intero privo di segno da 0 a 232-1 o come un intero con segno fra -231 e 231-1. Con i microprocessori più recenti una doubleword di 64 bit consente di rappresentare gli interi naturali da 0 a 264-1 o gli interi fra -263 e 263-1.
[modifica] Altre potenze di due notevoli
- 224 = 16 777 216: il numero di colori diverso che possono essere rappresentati in truecolour, come nella maggioranza degli schermi per computer. Questo numero risulta dall'uso del sistema RGB a tre canali, con 8 bit per ogni canale, e quindi 24 in totale.
- 248 = 281 474 976 710 656: estensione del truecolor, supportata da diverse macchine fotografiche digitali e scanner di fascia medio-alta. Viene codificato sempre in RGB ma con i singoli canali Red Green Blue da 16 bit l'uno. Molti formati grafici (JPEG, TIFF, TGA, ...) sono stati adattati per supportare questa modifica. Viene anche chiamato RGB161616
[modifica] La leggenda sulla nascita degli scacchi
Una storiella legata alla potenza di due e che spiega come è facile farsi ingannare quando si ha a che fare con i numeri è la leggenda sulla nascita degli scacchi.
Si dice che l'imperatore della Cina, abituato com'era a combattere una battaglia dopo l'altra, una volta costituito il suo grande impero si annoiava a stare inoperoso nel suo palazzo. Diede allora il compito al piu' intelligente dei suoi cortigiani di inventare un gioco che potesse alleviarlo dalla noia. Il saggio cortigiano si ritiro' e dopo qualche mese si presentò davanti all'imperatore e alla corte con la scacchiera sotto il braccio e gli scacchi in una scatola.
Una volta illustrato il gioco, l'imperatore ne rimase talmente entusiasta che promise di dare al saggio cortigiano qualsiasi cosa avrebbe chiesto, anche metà del regno. Il saggio cortigiano disse: "io mettero un chicco di riso sulla prima casella della scacchiera, tu, per ogni casella raddoppierai il riso della casella precedente". L'imperatore rimase stupito di questa richiesta, gli altri cortigiani gli diedero dello sciocco per aver chiesto qualche manciata di riso quando poteva chiedere un'enorme ricchezza. Ben presto però si accorsero che non sarebbe stato così facile esaudire la richiesta del saggio, infatti i chicchi di riso da mettere sulla scacchiera dovevano essere 264-1, una quantità di riso che se sparsa potrebbe coprire l'intera superficie dell'Afghanistan.
